قيم جبرية دقيقة لثوابت مثلثية

تكون زوايا الحلول الأولية على شكل (cos , sin) في دائرة الوحدة هي مضاعفات 30 و 45 درجة.

التعبيرات الجبرية الدقيقة للقيم المثلثية مفيدة في بعض الأحيان، خاصةً لتبسيط الحلول إلى أشكال جذرية تسمح بمزيد من التبسيط.

جميع الأعداد المثلثية - الجيب أو جيب التمام من مضاعفات كسرية لـ 360° - هي أعداد جبرية (حلول المعادلات متعددة الحدود مع معاملات صحيحة)؛ زيادة على ذلك، يمكن التعبير عنها بدلالة جذور الأعداد المركبة؛ ولكن ليس كل هذه يمكن التعبير عنها بدلالة جذور حقيقية. عندما تكون كذلك، فهي قابلة للتعبير بشكل أكثر تحديدًا بدلالة الجذور التربيعية.

جميع قيم الجيب، وجيب التمام، وظلال الزوايا متزايدة بـ 3° يمكن تعبير عنها بدلالة الجذور التربيعية، باستخدام المتطابقات (متطابقة نصف الزاوية، ومتطابقة ضعف الزاوية، ومتطابقة إضافة/طرح الزاوية) وباستخدام القيم لـ 0° و 30° و 36° و 45° . بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات التي ليست مضاعفة لـ 3° (قالب:كسر راديان)، لا يمكن التعبير عن قيم الجيب وجيب التمام والمماس بدلالة الجذور الحقيقية.

وفقًا لمبرهنة نيفن، فإن القيم الكسرية الوحيدة لدالة الجيب التي من أجلها تكون عمدتها (argument) عبارة عن عدد كسري من الدرجات هي: 0، و قالب:كسر، و 1، قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي.

وفقًا لمبرهنة باكر، إذا كانت قيمة الجيب أو جيب التمام أو الظل جبرية، فإن الزاوية تكون إما عددًا نسبيًّا من الدرجات أو عددًا متساميًا من الدرجات. وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية عبارة عن عدد جبري من الدرجات، ولكنها غير كسرية، فإن جميع الدوال المثلثية لها قيم متسامية.

جدول بعض الزوايا الشائعة

عدة وحدات القياس زاوية تستخدم على نطاق واسع، بما في ذلك الدرجات، الراديات، والغراد:

1 دائرة كاملة (دورة) = 360 درجات = قالب:تعبير رياضي راديان = 400 غراد.

يعرض الجدول التالي التحويلات والقيم لبعض الزوايا الشائعة:

دورات	درجات	راديان	غراد	جيب	جيب التمام	ظل
0	0°	0	0g	0	1	0
قالب:كسر	30°	قالب:كسر	قالب:كسرg	قالب:كسر
قالب:كسر	45°	قالب:كسر	50g	قالب:كسر	قالب:كسر	1
قالب:كسر	60°	قالب:كسر	قالب:كسرg	قالب:كسر	قالب:كسر	قالب:جذر
قالب:كسر	90°	قالب:كسر	100g	1	0
قالب:كسر	120°	قالب:كسر	قالب:كسرg	قالب:كسر	−قالب:كسر	−قالب:جذر
قالب:كسر	135°	قالب:كسر	150g	قالب:كسر	−قالب:كسر	−1
قالب:كسر	150°	قالب:كسر	قالب:كسرg	قالب:كسر	−قالب:كسر	−قالب:كسر
قالب:كسر	180°	قالب:Pi	200g	0	−1	0
قالب:كسر	210°	قالب:كسر	قالب:كسرg	−قالب:كسر	−قالب:كسر	قالب:كسر
قالب:كسر	225°	قالب:كسر	250g	−قالب:كسر	−قالب:كسر	1
قالب:كسر	240°	قالب:كسر	قالب:كسرg	−قالب:كسر	−قالب:كسر	قالب:جذر
قالب:كسر	270°	قالب:كسر	300g	−1	0
قالب:كسر	300°	قالب:كسر	قالب:كسرg	−قالب:كسر	قالب:كسر	−قالب:جذر
قالب:كسر	315°	قالب:كسر	350g	−قالب:كسر	قالب:كسر	−1
قالب:كسر	330°	قالب:كسر	قالب:كسرg	−قالب:كسر	قالب:كسر	−قالب:كسر
1	360°	2قالب:Pi	400g	0	1	0

زوايا أخرى

الجدول المثلثية الدقيقة لمضاعفات 3 درجات.

قالب:تعبير رياضي: أساسي

$\sin 0=0$

$\cos 0=1$

$\tan 0=0$

$\cot 0=$ غير معرف

قالب:تعبير رياضي: مئة وعشروني الأضلاع المنتظم (المضلع به 120 ضلع)

$\sin \left(\frac{\pi }{120}\right)=\sin (1.5^{\circ })=\frac{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})-\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)(\sqrt{30-6\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1)}{16}$

$\cos \left(\frac{\pi }{120}\right)=\cos (1.5^{\circ })=\frac{\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)(\sqrt{30-6\sqrt{5}}+\sqrt{5}+1)+\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})}{16}$

قالب:تعبير رياضي: ست وتسعوني الاضلاع (مضلع ذو 96 ضلعًا)

$\sin \left(\frac{\pi }{96}\right)=\sin (1.875^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{96}\right)=\cos (1.875^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}}$

قالب:تعبير رياضي: المثمن المنتظم (مضلع به 80 ضلع)

$\sin \left(\frac{\pi }{80}\right)=\sin (2.25^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{80}\right)=\cos (2.25^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}}$

قالب:تعبير رياضي : أربع وستيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو جانبين)

$\sin \left(\frac{\pi }{64}\right)=\sin (2.8125^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{64}\right)=\cos (2.8125^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}$

قالب:تعبير رياضي: ستيني الأضلاع المنتظم (مضلع به 60 ضلع)

$\sin \left(\frac{\pi }{60}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)=\frac{2(1-\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+1)}{16}$

$\cos \left(\frac{\pi }{60}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)=\frac{2(1+\sqrt{3})\sqrt{5+\sqrt{5}}+(\sqrt{10}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-1)}{16}$

$\tan \left(\frac{\pi }{60}\right)=\tan \left(3^{\circ }\right)=\frac{[(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2][2-\sqrt{10-2\sqrt{5}}]}{4}$

$\cot \left(\frac{\pi }{60}\right)=\cot \left(3^{\circ }\right)=\frac{[(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})-2][2+\sqrt{10-2\sqrt{5}}]}{4}$

قالب:تعبير رياضي: ثماني وأربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 48 ضلعًا)

$\sin \left(\frac{\pi }{48}\right)=\sin (3.75^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{48}\right)=\cos (3.75^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

قالب:تعبير رياضي: أربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 40 ضلعًا)

$\sin \left(\frac{\pi }{40}\right)=\sin (4.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{40}\right)=\cos (4.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}}$

قالب:تعبير رياضي: إثنا وثلاثيني الأضلاع (مضلع ذو 32 ضلعًا)

$\sin \left(\frac{\pi }{32}\right)=\sin (5.625^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{32}\right)=\cos (5.625^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$

قالب:تعبير رياضي: ثلاثيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 30 ضلعًا)

$\sin \frac{\pi }{30}=\sin 6^{\circ }=\frac{\sqrt{30-\sqrt{180}}-\sqrt{5}-1}{8}$

$\cos \frac{\pi }{30}=\cos 6^{\circ }=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt{3}+\sqrt{15}}{8}$

$\tan \frac{\pi }{30}=\tan 6^{\circ }=\frac{\sqrt{10-\sqrt{20}}+\sqrt{3}-\sqrt{15}}{2}$

$\cot \frac{\pi }{30}=\cot 6^{\circ }=\frac{\sqrt{27}+\sqrt{15}+\sqrt{50+\sqrt{2420}}}{2}$

قالب:تعبير رياضي: أربع وعشريني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 24 ضلعًا)

$\sin \left(\frac{\pi }{24}\right)=\sin (7.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}\sqrt{8-2\sqrt{6}-2\sqrt{2}}$

$\cos \left(\frac{\pi }{24}\right)=\cos (7.5^{\circ })=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}=\frac{1}{4}\sqrt{8+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}}$

$\tan \left(\frac{\pi }{24}\right)=\tan (7.5^{\circ })=\sqrt{6}-\sqrt{3}+\sqrt{2}-2=(\sqrt{2}-1)(\sqrt{3}-\sqrt{2})$

$\cot \left(\frac{\pi }{24}\right)=\cot (7.5^{\circ })=\sqrt{6}+\sqrt{3}+\sqrt{2}+2=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{3}+\sqrt{2})$

قالب:تعبير رياضي: عشروني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 20 ضلعًا)

$\sin \frac{\pi }{20}=\sin 9^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}$

$\cos \frac{\pi }{20}=\cos 9^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}$

$\tan \frac{\pi }{20}=\tan 9^{\circ }=\sqrt{5}+1-\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{\pi }{20}=\cot 9^{\circ }=\sqrt{5}+1+\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

قالب:تعبير رياضي: ستة عشري الأضلاع المنتظم

$\sin \frac{\pi }{16}=\sin 11.25^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$\cos \frac{\pi }{16}=\cos 11.25^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}$

$\tan \frac{\pi }{16}=\tan 11.25^{\circ }=\sqrt{4+2\sqrt{2}}-\sqrt{2}-1$

$\cot \frac{\pi }{16}=\cot 11.25^{\circ }=\sqrt{4+2\sqrt{2}}+\sqrt{2}+1$

قالب:تعبير رياضي: خمسة عشري الأضلاع المنتظم

$\sin \frac{\pi }{15}=\sin 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{2(5+\sqrt{5})}+\sqrt{3}-\sqrt{15}]$

$\cos \frac{\pi }{15}=\cos 12^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{6(5+\sqrt{5})}+\sqrt{5}-1]$

$\tan \frac{\pi }{15}=\tan 12^{\circ }=\frac{1}{2}[3\sqrt{3}-\sqrt{15}-\sqrt{2(25-11\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{\pi }{15}=\cot 12^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{15}+\sqrt{3}+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

قالب:تعبير رياضي: إثنا عشري الأضلاع المنتظم

$\sin \frac{\pi }{12}=\sin 15^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}$

$\cos \frac{\pi }{12}=\cos 15^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}$

$\tan \frac{\pi }{12}=\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$

$\cot \frac{\pi }{12}=\cot 15^{\circ }=2+\sqrt{3}$

قالب:تعبير رياضي: عشري الأضلاع منتظم

$\sin \frac{\pi }{10}=\sin 18^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$

$\cos \frac{\pi }{10}=\cos 18^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}$

$\tan \frac{\pi }{10}=\tan 18^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}$

$\cot \frac{\pi }{10}=\cot 18^{\circ }=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 9 درجة + 12 درجة

$\sin \frac{7\pi }{60}=\sin 21^{\circ }=\frac{1}{16}(2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5-\sqrt{5}}-(\sqrt{6}-\sqrt{2})(1+\sqrt{5}))$

$\cos \frac{7\pi }{60}=\cos 21^{\circ }=\frac{1}{16}(2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5-\sqrt{5}}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})(1+\sqrt{5}))$

$\tan \frac{7\pi }{60}=\tan 21^{\circ }=\frac{1}{4}(2-(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5}))(2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})})$

$\cot \frac{7\pi }{60}=\cot 21^{\circ }=\frac{1}{4}(2-(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5}))(2+\sqrt{2(5+\sqrt{5})})$

قالب:تعبير رياضي: المثمن المنتظم

$\sin \frac{\pi }{8}=\sin 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}},$

$\cos \frac{\pi }{8}=\cos 22.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$\tan \frac{\pi }{8}=\tan 22.5^{\circ }=\sqrt{2}-1$

$\cot \frac{\pi }{8}=\cot 22.5^{\circ }=\sqrt{2}+1={\delta }_S$

حيث δ_S هو العدد الفضي.

قالب:تعبير رياضي: مجموع 12 درجة + 12 درجة

$\sin \frac{2\pi }{15}=\sin 24^{\circ }=\frac{1}{8}[\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\cos \frac{2\pi }{15}=\cos 24^{\circ }=\frac{1}{8}(\sqrt{6(5-\sqrt{5})}+\sqrt{5}+1)$

$\tan \frac{2\pi }{15}=\tan 24^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{50+22\sqrt{5}}-3\sqrt{3}-\sqrt{15}]$

$\cot \frac{2\pi }{15}=\cot 24^{\circ }=\frac{1}{2}[\sqrt{15}-\sqrt{3}+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 12 درجة + 15 درجة

$\sin \frac{3\pi }{20}=\sin 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}-\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{3\pi }{20}=\cos 27^{\circ }=\frac{1}{8}[2\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{5}-1)]$

$\tan \frac{3\pi }{20}=\tan 27^{\circ }=\sqrt{5}-1-\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{3\pi }{20}=\cot 27^{\circ }=\sqrt{5}-1+\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

قالب:تعبير رياضي: المسدس المنتظم

$\sin \frac{\pi }{6}=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\cos \frac{\pi }{6}=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan \frac{\pi }{6}=\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\cot \frac{\pi }{6}=\cot 30^{\circ }=\sqrt{3}$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 15 درجة + 18 درجة

$\sin \frac{11\pi }{60}=\sin 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}-1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1+\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\cos \frac{11\pi }{60}=\cos 33^{\circ }=\frac{1}{16}[2(\sqrt{3}+1)\sqrt{5+\sqrt{5}}+\sqrt{2}(1-\sqrt{3})(\sqrt{5}-1)]$

$\tan \frac{11\pi }{60}=\tan 33^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2-\sqrt{3})(3+\sqrt{5})][2+\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{11\pi }{60}=\cot 33^{\circ }=\frac{1}{4}[2-(2+\sqrt{3})(3+\sqrt{5})][2-\sqrt{2(5-\sqrt{5})}]$

قالب:تعبير رياضي: الخماسي المنتظم

$\sin \frac{\pi }{5}=\sin 36^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{10-2\sqrt{5}}$

$\cos \frac{\pi }{5}=\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}=\frac{\phi }{2},$

حيث قالب:تعبير رياضي هي النسبة الذهبية؛

$\tan \frac{\pi }{5}=\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{\pi }{5}=\cot 36^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{25+10\sqrt{5}}$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 18 درجة + 21 درجة

$\sin \frac{13\pi }{60}=\sin 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1-\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)(\sqrt{5}+1)]$

$\cos \frac{13\pi }{60}=\cos 39^{\circ }=\frac{1}{16}[2(1+\sqrt{3})\sqrt{5-\sqrt{5}}+\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)(\sqrt{5}+1)]$

$\tan \frac{13\pi }{60}=\tan 39^{\circ }=\frac{1}{4}[(2-\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2][2-\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

$\cot \frac{13\pi }{60}=\cot 39^{\circ }=\frac{1}{4}[(2+\sqrt{3})(3-\sqrt{5})-2][2+\sqrt{2(5+\sqrt{5})}]$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 21 درجة + 21 درجة

$\sin \frac{7\pi }{30}=\sin 42^{\circ }=\frac{\sqrt{30+\sqrt{180}}-\sqrt{5}+1}{8}$

$\cos \frac{7\pi }{30}=\cos 42^{\circ }=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}+\sqrt{10+\sqrt{20}}}{8}$

$\tan \frac{7\pi }{30}=\tan 42^{\circ }=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10+\sqrt{20}}}{2}$

$\cot \frac{7\pi }{30}=\cot 42^{\circ }=\frac{\sqrt{50-\sqrt{2420}}+\sqrt{27}-\sqrt{15}}{2}$

قالب:تعبير رياضي: مربع

$\sin \frac{\pi }{4}=\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \frac{\pi }{4}=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\tan \frac{\pi }{4}=\tan 45^{\circ }=1$

$\cot \frac{\pi }{4}=\cot 45^{\circ }=1$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 27 درجة + 27 درجة

$\sin \frac{3\pi }{10}=\sin 54^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$\cos \frac{3\pi }{10}=\cos 54^{\circ }=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

$\tan \frac{3\pi }{10}=\tan 54^{\circ }=\frac{\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{5}$

$\cot \frac{3\pi }{10}=\cot 54^{\circ }=\sqrt{5-\sqrt{20}}$

قالب:تعبير رياضي: مثلث متساوي الأضلاع

$\sin \frac{\pi }{3}=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos \frac{\pi }{3}=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$

$\tan \frac{\pi }{3}=\tan 60^{\circ }=\sqrt{3}$

$\cot \frac{\pi }{3}=\cot 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 7.5 درجة + 60 درجة

$\sin \frac{3\pi }{8}=\sin 67.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}$

$\cos \frac{3\pi }{8}=\cos 67.5^{\circ }=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}$

$\tan \frac{3\pi }{8}=\tan 67.5^{\circ }=\sqrt{2}+1$

$\cot \frac{3\pi }{8}=\cot 67.5^{\circ }=\sqrt{2}-1$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 36 درجة + 36 درجة

$\sin \frac{2\pi }{5}=\sin 72^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2(5+\sqrt{5})}$

$\cos \frac{2\pi }{5}=\cos 72^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)$

$\tan \frac{2\pi }{5}=\tan 72^{\circ }=\sqrt{5+2\sqrt{5}}$

$\cot \frac{2\pi }{5}=\cot 72^{\circ }=\frac{1}{5}\sqrt{5(5-2\sqrt{5})}$

قالب:تعبير رياضي: مجموع 30 درجة + 45 درجة

$\sin \frac{5\pi }{12}=\sin 75^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})$

$\cos \frac{5\pi }{12}=\cos 75^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})$

$\tan \frac{5\pi }{12}=\tan 75^{\circ }=2+\sqrt{3}$

$\cot \frac{5\pi }{12}=\cot 75^{\circ }=2-\sqrt{3}$

قالب:تعبير رياضي: أساسي

$\sin \frac{\pi }{2}=\sin 90^{\circ }=1$

$\cos \frac{\pi }{2}=\cos 90^{\circ }=0$

$\tan \frac{\pi }{2}=\tan 90^{\circ }=$ غير معرف

$\cot \frac{\pi }{2}=\cot 90^{\circ }=0$

قائمة الثوابت المثلثية لـ قالب:كسر

بالنسبة إلى الجذور التكعيبية للأعداد غير الحقيقية التي تظهر في هذا الجدول، يجب أخذ القيمة الأساسية، وهذا يعني أن الجذر التكعيبي يحتوي على أكبر جزء حقيقي؛ هذا الجزء الأكبر الحقيقي هو دائما موجب. لذلك، فإن مجموع الجذور التكعيبية التي تظهر في الجدول كلها أعداد حقيقية موجبة.

$\begin{array}{cccc}n& \sin \left(\frac{2\pi }{n}\right)& \cos \left(\frac{2\pi }{n}\right)& \tan \left(\frac{2\pi }{n}\right)\\ 1& 0& 1& 0\\ 2& 0& -1& 0\\ 3& \frac{1}{2}\sqrt{3}& -\frac{1}{2}& -\sqrt{3}\\ 4& 1& 0& \pm \mathrm{\infty }\\ 5& \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)& \frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)& \sqrt{5+2\sqrt{5}}\\ 6& \frac{1}{2}\sqrt{3}& \frac{1}{2}& \sqrt{3}\\ 7& \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{3}(7-\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}})}& \frac{1}{6}(-1+\sqrt[3]{\frac{7+21\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{7-21\sqrt{-3}}{2}})& \\ 8& \frac{1}{2}\sqrt{2}& \frac{1}{2}\sqrt{2}& 1\\ 9& \frac{i}{2}(\sqrt[3]{\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}})& \frac{1}{2}(\sqrt[3]{\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}})& \\ 10& \frac{1}{4}\left(\sqrt{10-2\sqrt{5}}\right)& \frac{1}{4}(\sqrt{5}+1)& \sqrt{5-2\sqrt{5}}\\ 11& & & \\ 12& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\sqrt{3}& \frac{1}{3}\sqrt{3}\\ 13& & & \\ 14& \frac{1}{24}\sqrt{3(112-\sqrt[3]{14336+\sqrt{-5549064193}}-\sqrt[3]{14336-\sqrt{-5549064193}})}& \frac{1}{24}\sqrt{3(80+\sqrt[3]{14336+\sqrt{-5549064193}}+\sqrt[3]{14336-\sqrt{-5549064193}})}& \sqrt{\frac{112-\sqrt[3]{14336+\sqrt{-5549064193}}-\sqrt[3]{14336-\sqrt{-5549064193}}}{80+\sqrt[3]{14336+\sqrt{-5549064193}}+\sqrt[3]{14336-\sqrt{-5549064193}}}}\\ 15& \frac{1}{8}(\sqrt{15}+\sqrt{3}-\sqrt{10-2\sqrt{5}})& \frac{1}{8}(1+\sqrt{5}+\sqrt{30-6\sqrt{5}})& \frac{1}{2}(-3\sqrt{3}-\sqrt{15}+\sqrt{50+22\sqrt{5}})\\ 16& \frac{1}{2}\left(\sqrt{2-\sqrt{2}}\right)& \frac{1}{2}\left(\sqrt{2+\sqrt{2}}\right)& \sqrt{2}-1\\ 17& & \frac{1}{16}(-1+\sqrt{17}+\sqrt{34-2\sqrt{17}}+2\sqrt{17+3\sqrt{17}-\sqrt{34-2\sqrt{17}}-2\sqrt{34+2\sqrt{17}}})& \\ 18& \frac{i}{4}(\sqrt[3]{4-4\sqrt{-3}}-\sqrt[3]{4+4\sqrt{-3}})& \frac{1}{4}(\sqrt[3]{4+4\sqrt{-3}}+\sqrt[3]{4-4\sqrt{-3}})& \\ 19& & & \\ 20& \frac{1}{4}(\sqrt{5}-1)& \frac{1}{4}\left(\sqrt{10+2\sqrt{5}}\right)& \frac{1}{5}\left(\sqrt{25-10\sqrt{5}}\right)\\ 21& & & \\ 22& & & \\ 23& & & \\ 24& \frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})& \frac{1}{4}(\sqrt{6}+\sqrt{2})& 2-\sqrt{3}\end{array}$

ملاحظات

استخدامات الثوابت

كمثال على استخدام هذه الثوابت، نعتبر حجم قالب:وإو، حيث a هو طول إحدى أحرفه:

$V=\frac{5a^3\cos 36^{\circ }}{{\tan }^{2}36^{\circ }}$

باستخدام: $\cos 36^{\circ }=\frac{\sqrt{5}+1}{4}$

$\tan 36^{\circ }=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$

يمكن تبسيط هذا إلى:

$V=\frac{a^3(15+7\sqrt{5})}{4}$

اشتقاق القيم من المثلثات

مضلع منتظم (ذو n ضلعًا) ومثلثه القائم الأساسي. الزوايا: a = قالب:كسر و قالب:يسار إلى يمين

يعتمد اشتقاق القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل على إنشاء المثلثات القائمة.

هنا تستخدم المثلثات القائمة التي أنشئت من قِطَع التناظر للمضلعات العادية لحساب النسب المثلثية الأساسية.  يمثل كل مثلث قائم ثلاث نقاط في مضلع عادي: الرأس، مركز الحافة الحاوية لهذا الرأس، ومركز المضلع. يمكن تقسيم مضلع ذو n ضلعًا إلى 2n مثلثات قائمة ذات زوايا قالب:كسر، و قالب:يسار إلى يمين، و قالب:يسار إلى يمين ، من أجل قالب:يسار إلى يمين.

قابلية إنشاء المضلعات ذات 3 و 4 و 5 و 15 ضلعًا هي الأساس، كما تسمح منصفات الزوايا باشتقاق مضاعفات تلك أعداد الأضلاع في اثنين أيضًا.

• القابلة للإنشاء
  • مضلعات منتظمة ذات 3 × 2ⁿ ضلعًا، من أجل قالب:يسار إلى يمين
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : مثلث
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : سداسي (ذو 6 أضلاع)
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : إثنا عشري الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : أربعة وعشروني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ثمانية وأربعوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ستة وتسعوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 192 ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 384 ضلعًا
    • ...
  • ذو 4 × 2ⁿ ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : مربع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ثماني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ستة عشري الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : إثنان وثلاثوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : أربعة وستوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 128 ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 256 ضلعًا
    • ...
  • ذو 5 × 2ⁿ ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : خماسي الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : عشري الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : عشروني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : أربعوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ثمانوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 160 ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 320 ضلعا
    • ...
  • ذو 15 × 2ⁿ ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : خمسة عشري الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ثلاثوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ستوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 120 ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 240 ضلعًا
  • ...

هناك أيضًا مضلعات منتظمة أخرى قابلة للإنشاء: قالب:يسار إلى يمين

• غير القابلة للإنشاء – التعبيرات الجذرية اللانهائية التي تتضمن أعدادًا حقيقية لتلك نسب أضلاع المثلث ممكنة، وبالتالي فإن مضاعفاتها في اثنين غير ممكنة أيضًا.
  • ذو 9 × 2ⁿ ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : تساعي الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ثمانية عشري الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ستة وثلاثوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : إثنا وسبعوني الأضلاع
    • ...
  • ذو 45 × 2ⁿ ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : خمسة وأربعوني الأضلاع
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : قالب:وإو
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 180 ضلعًا
    • مثلث ذو زوايا قالب:يسار إلى يمين : ذو 360 ضلعًا
    • ...

انظر أيضا

• مضلع قابل للإنشاء
• انشاء سبعة عشري الأضلاع، يعطي عبارة دقيقة لـ قالب:تعبير رياضي.
• قائمة المطابقات المثلثية
• مبرهنة نيفن حول القيم الكسرية لجيب مضاعف كسري لـ قالب:Pi
• الدوال المثلثية

روابط خارجية

• المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء
• تسمية المضلعات
• يتضمن Sine and cosine in surds تعبيرات بديلة في بعض الحالات وكذلك تعبيرات لبعض الزوايا الأخرى.