خماسي أضلاع

الصفحة 34 من كتاب فيما یحتاج إليه الصانع من أعمال الهندسة لأبي الوفاء البوزجاني حيث يذكر فيها كيفية رسم مخمس في دائرة

في الهندسة الرياضية، خُمَاسِيّ الأَضْلاَعِ أو المُخَمَّس قالب:إنج هو مضلع له خمسة أضلاع. مجموع الزوايا الداخلية لخماسي أضلاع بسيط (أي أضلاعه لا تتقاطع مع بعضها البعض) ومحدب يساوي 540 درجة.

قد يكون خماسي الأضلاع بسيطا وقد يكون ذاتي التقاطع. خماسي ذاتي التقاطع يسمى نجمة خماسية.

الخماسي المنتظم

خطوات إنشاء المخمس باستخدام الفرجار والمسطرة.

• الزاوية الداخلية للخماسي تساوي 108°.

مساحة خماسي منتظم

• تعطى مساحة المخمس ذو طول الضلع t بالعلاقة التالية:

$A=\frac{t^2\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{4}=\frac{5t^2\cdot \tan (54^{\circ })}{4}\approx 1.720477401t^2.$

تعطى مساحة المخمس بدلالة نصف قطر الدائرة المحاطة داخله r بالعلاقة:

$t=R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\approx 1.17557050458R$.

شعاع الدائرة المحيطة

• يعطى نصف قطر الدائرة المحيطة R بالعلاقة:

$R=\frac{\sin (54^{\circ })a}{\sin (72^{\circ })}\approx 0.85065a$

إنشاء خماسي منتظم

المخمس هو مضلع قابل للإنشاء باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. ويعود ذلك إلى كون 5 عددا أوليا لفيرما. هناك العديد من الطرق اللائي يمكنن من إنشاء خماسي منتظم. منهن ما يلي.

طريقة ريشموند

دوائر كارليل

رسم خماسي باستعمال دوائر كارليل

البرهان على أن cos 36° = $\frac{1+\sqrt{5}}{4}$

$\begin{array}{cc}0& =\cos 90^{\circ }\\ & =n^2+2n+1\\ & =\cos (72^{\circ }+18^{\circ })\\ & =\cos 72^{\circ }\cos 18^{\circ }-\sin 72^{\circ }\sin 18^{\circ }\end{array}$

(باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)

$=(2{\cos }^{2}36^{\circ }-1)\sqrt{\frac{1+\cos 36^{\circ }}{2}}-2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }\sqrt{\frac{1-\cos 36^{\circ }}{2}}$ (باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)

ليكن u = cos 36°. أولا لاحظ أن

قالب:تعبير رياضي (والتي ستساعدنا في التبسيط أثناء العمل). الآن،

$\begin{array}{cc}0& =(2u^2-1)\sqrt{\frac{1+u}{2}}-2\sqrt{1-u^2}\cdot u\sqrt{\frac{1-u}{2}}\\ 2\sqrt{1-u^2}\cdot u\sqrt{\frac{1-u}{2}}& =(2u^2-1)\sqrt{\frac{1+u}{2}}\\ 2\sqrt{1+u}\sqrt{1-u}\cdot u\sqrt{1-u}& =(2u^2-1)\sqrt{1+u}\\ 2u(1-u)& =2u^2-1\\ 2u-2u^2& =2u^2-1\\ 0& =4u^2-2u-1\\ u& =\frac{2+\sqrt{(-2{)}^2-4(4)(-1)}}{2(4)}\\ u& =\frac{1+\sqrt{5}}{4}\end{array}$

قد يعبر عن هذه النتيجة نثرا كما يلي :

الجيب التمام لزاوية تساوي ستة وثلاثين درجة هو نصف النسبة الذهبية.

أمثلة عن الخماسيات

نباتات

• 
  المقطع العرضي للبامية.
• 
  مجد الصباح، مثل العديد من الزهور الأخرى ، لها شكل خماسي.
• 
  يحتوي متاع التفاح على خمس نقرات ، مرتبة بنجمة ذات خمس فروع.
• 
  فاكهة النجمة

حيوانات

• 
  نجم البحر، مجموعة من شوكيات الجلد لها تماثل خماسي.
• 
  رسم توضيحي لنجم البحر الهش، أيضا من شوكيات الجلد اللائي لهن شكل خماسي.

معادن

• 
  الشبه بلورة "Ho-Mg-Zn" عشرينية الأوجه تشكلت كاثنا عشري سطوح خماسي الشكل. الوجوه كلها خماسيات منتظمة.
• 
  بلورة بيريت، عبارة عن اثنا عشري الوجوه له 12 وجهًا خماسيًا متطابقًا غير مقيد ليكون منتظمًا.

إنشاءات إنسانية

• 
  بنتاغون، المقر الرئيسي لوزارة دفاع الولايات المتحدة.
• 
  صفيحة ملعب كرة القاعدة (Home Plate)
• 
  كرة قدم أديداس تيليستار، باللونين المعتادين الأبيض والأسود. هي على شكل عشريني أوجه مقطع الرؤوس. ابتكرت في عام 1970. الأشكال السوداء هن خماسيات أضلاع.

انظر أيضًا

• نسبة ذهبية
• قائمة الأشكال الهندسية
• عدد مخمسي
• نجمة خماسية
• مبرهنة فيثاغورس