مبرهنة الرواسب

في التحليل المركب، مبرهنة الرواسب أو مبرهنة الرواسب لكوشي، هي أداة قوية لتقييم التكاملات الخطية للدوال التحليلية على المنحنيات المغلقة؛ يمكن استخدامه أحيانًا لحساب التكاملات الحقيقية والمتسلسلات اللانهائية أيضًا. تُعَمِّمُ هذه المبرهنة مبرهنة كوشي للتكامل وصيغة كوشي التكاملية.

نص المبرهنة

نص المبرهنة هو كالتالي:

لتكن قالب:Mvar مجموعة فرعية مفتوحة مرتبطة ارتباطًا بسيطًا من المستوي المركب تحتوي على قائمة منتهية من النقاط قالب:تعبير رياضي ، قالب:تعبير رياضي ، والدالة قالب:Mvar معرفة وتامة التشكل على قالب:تعبير رياضي . ليكن قالب:Mvar منحني مغلق قابل للتقويم في قالب:تعبير رياضي، ويشير إلى قالب:وإو قالب:Mvar حول قالب:تعبير رياضي بـ قالب:تعبير رياضي. التكامل الخطي لـ قالب:Mvar حول قالب:Mvar يساوي قالب:تعبير رياضي مضروبًا في مجموع رواسب قالب:Mvar عند النقاط، كل منها يحسب عدة مرات على أن قالب:Mvar يلتف حول النقطة:$${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{I}(\gamma ,a_k)\mathrm{Res}(f,a_k).$$إذا كان قالب:Mvar منحنيًا مغلقًا بسيطًا موجب الاتجاه، قالب:تعبير رياضي إذا كان قالب:تعبير رياضي داخل قالب:Mvar، و 0 إذا لم يكن كذلك، فإن:$${\oint }_{\gamma }f(z)dz=2\pi i\sum \mathrm{Res}(f,a_k)$$مع مجموع حول أعداد قالب:تعبير رياضي التي بداخل قالب:Mvar.