صيغة كوشي التكاملية

في التحليل المركب، تنص صيغة كوشي التكاملية قالب:إنج على أنه يمكن تحديد قيمة التابع التحليلي، المعرف على قرص، في أي نقطة داخل القرص بواسطة قيم هذا التابع على محيط هذا القرص، أي.

المبرهنة

ليكن قالب:تعبير رياضي مجموعة مفتوحة من المستوى العقدي قالب:تعبير رياضي وليكن القرص المنغلق قالب:تعبير رياضي المعرف كما يلي:

$D=\{z:|z-z_0|\le r\}$

ضمن المجموعة قالب:تعبير رياضي بشكل كامل.

$f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dz$

$\frac{1}{z-a}=\frac{1+\frac{a}{z}+{\left(\frac{a}{z}\right)}^2+\cdots }{z}$

ومن هذه الصيغة يمكن استنتاج قابلية هذا التابع للمفاضلة بعدد لا نهائي من المرات

$f^{(n)}(a)=\frac{n!}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz.$

مثال

المساحة (أو السطح) الممثلة للجزء الحقيقي للدالة g(z) = z² / (z² + 2z + 2) and its singularities, with the contours الموصوفة في النص.

لتكن الدالة

$g(z)=\frac{z^2}{z^2+2z+2}$,

$g(z)=\frac{z^2}{(z-z_1)(z-z_2)}$

النتائج

انظر إلى نعومة دالة.

$f(\zeta )=\frac{1}{2\pi i}\underset{C}{\int }\frac{f(z)}{z-\zeta }dz.$

انظر أيضا

• معادلات كوشي-ريمان