قوس جيب التمام

قالب:صندوق معلومات دالة رياضية في الرياضيات، دالة قوس جيب التمام قالب:إنج لعدد حقيقي المحصور بين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام، مستقرها هو $[0,\pi ]$، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ arccos أو قالب:تعبير رياضي. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال $[0,\pi ]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة قالب:تعبير رياضي.

مشتق

دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال قالب:تعبير رياضي ودالتها المشتقة هي:

${\arccos }^{\prime }x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

إثبات

يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arccos x{)}^{\prime }=\frac{d}{dx}\arccos x$

نضع $\theta =\arccos x$:

$\frac{d\theta }{d\cos \theta }=\frac{d\theta }{-d\theta \sin \theta }=\frac{-1}{\sin \theta }=\frac{-1}{\sqrt{1-{\cos }^2\theta }}=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

إثبات آخر

يمكن إيجاد مشتقة دالة arccos(x) عن طريق تفاضل مركب دالتين (دالة ومعكوسها):

- إذا كانت cos(arccos(x)) = x بتفاضل الطرفين معاً ينتج:

$(\cos (\arccos (x){)}^{\prime }=-\sin (\arccos (x))\frac{d}{dx}\arccos x$

أي أن:

$(x{)}^{\prime }=-\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos (x))}\frac{d}{dx}\arccos x$

يُستنتج من ذلك:

$1=-\sqrt{1-x^2}\frac{d}{dx}\arccos x$

بترتيبها تنتج المشتقة:

$\frac{d}{dx}\arccos (x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:

قالب:Pad$\arccos x=\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{-1}{\sqrt{1-t^2}}dt$

المشتق العكسي

يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة:

$\int \arccos (x)dx=x\arccos (x)-\sqrt{1-x^2}+C$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

قالب:تعبير رياضي (بالأزرق) و قالب:تعبير رياضي (بالأحمر)

لكل عدد حقيقي قالب:تعبير رياضي محصور بين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي :

$\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi }{2}$

إثبات

يمكن أن نستنتج العلاقة بين arccos(x) و arcsin(x) كالتالي:

نأخذ:

$y=\arccos (x)$

$\cos (y)=x$

يعني:

$\sin (\frac{\pi }{2}-y)=x$

ومنه:

$\frac{\pi }{2}-y=\arcsin (x)$

أي:

$\frac{\pi }{2}-\arccos (x)=\arcsin (x)$

و بترتيبها نحصل على:

$\arccos (x)+\arcsin (x)=\frac{\pi }{2}$

إثبات آخر

نشتق الدالة $\arccos (x)+\arcsin (x)$:

$\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ وهي مساوية للصفر ، إذن arccos(x) + arcsin(x) هي عبارة عن دالة ثابتة.

نستنتج من ذلك أن:

مجموع arccos(x) و arcsin(x) عدد حقيقي ثابت (لأن مشتقة الثابت هي الصفر) يتم تعيينه أي أن:

$\arccos (x)+\arcsin (x)=\alpha$

نأخذ arcsin(x) إلى الطرف الآخر:

$\arccos (x)=\alpha -\arcsin (x)$

ندخل دالة الجيب تمام على الطرفين:

$x=\cos (\alpha -\arcsin (x))$

نبسط التعبير باستعمال قاعدة جيب تمام فرق عددين:

$x=\cos (\alpha )\cos (\arcsin (x))+\sin (\alpha )\sin (\arcsin (x))$

أي أن:

$x=\cos (\alpha )\sqrt{1-x^2}+x\sin (\alpha )$

و بتعويض x ب 0 و التبسيط نحصل على:

$0=\cos (\alpha )$

بادخال دالة معكوس جيب التمام على الطرفين نحصل على:

$\arccos (0)=\alpha$

أي أن:

$\frac{\pi }{2}=\alpha$

و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:

$\arccos (x)+\arcsin (x)=\frac{\pi }{2}$

التمثيل بواسطة متسلسلة

لدينا:

$\arccos (x)=\frac{\pi }{2}-\arcsin (x)$

و بتعويض arcsin(x) بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة arccos(x) :

$\arccos (x)=\frac{\pi }{2}-\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2k-1)!!}{(2k)!!}\frac{x^{2k+1}}{2k+1}$

على المستوي العقدي

الشكل اللوغاريتمي

التمثيل البياني اللوني للدالة $\arccos z$

يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي:

$\arccos (x)=-i\ln (x+i\sqrt{1-x^2})=\frac{\pi }{2}+i\ln (ix+\sqrt{1-x^2})=\frac{\pi }{2}-\arcsin (x).$

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة الجيب العكسية
• دالة الظل العكسية