قوس الجيب

في الرياضيات، دالة قوس الجيب قالب:إنج لعدد حقيقي المحصور بين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي هي الدالة العكسية لدالة الجيب، مستقرها هو $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ arcsin أو قالب:تعبير رياضي. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الجيب المثلثية المقتصرة إلى المجال $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد الوَحْديّ للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة قالب:تعبير رياضي.

مشتق

دالة الجيب العكسية تقبل الإشتقاق على المجال قالب:تعبير رياضي ودالتها المشتقة هي:

${\arcsin }^{\prime }x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{d}{dx}\arcsin x$

نضع $\theta =\arcsin x$:

$\frac{d\theta }{d\sin \theta }=\frac{d\theta }{d\theta \cos \theta }=\frac{1}{\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

تمثيل بواسطة متسلسلة

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

إذا كانت $|z|\le 1$،

$\begin{array}{cc}\arcsin z& =z+\frac{1}{2}\cdot \frac{z^3}{3}+\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\cdot \frac{z^5}{5}+\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\cdot \frac{z^7}{7}+\dots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\cdot \frac{z^{2n+1}}{2n+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})z^{2n+1}}{4^n(2n+1)}.\end{array}$

حيث $(n)!!$ هو عاملي ثنائي.

الشكل التكاملي

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :

قالب:Pad$\arcsin x=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt$

المشتق العكسي

قالب:تعبير رياضي (بالأزرق) و قالب:تعبير رياضي (بالأحمر)

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :

$\int \arcsin x\mathrm{d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام

من أجل كل عدد حقيقي قالب:تعبير رياضي محصور بين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي : $\arccos x+\arcsin x=\frac{\pi }{2}$

على المستوي المركب

التمثيل البياني اللوني للدالة $\arcsin z$

الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام اللوغاريتم العقدي:

$\arcsin x=-i\ln (ix+\sqrt{1-x^2})$

طالع أيضًا

• دوال مثلثية عكسية
• دالة جيب التمام العكسية
• دالة الظل العكسية