دوال مثلثية عكسية

في الرياضيات، الدوال المثلثية العكسية أو الدوال القوسية قالب:إنج هي الدوال العكسية للدوال المثلثية معرفة على مجالات محدودة مناسبة معينة. وبالتحديد، هن الدوال العكسية للدوال الست الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام والقاطع وقاطع التمام، وتستخدم للحصول على زاوية من أي من النسب المثلثية للزاوية. تستخدم الدوال المثلثية العكسية على نطاق واسع في الهندسة التطبيقية والملاحة والفيزياء والهندسة الرياضية.

التدوين

بالنسبة لدائرة شُعَاعها (نصف قطرها) = 1، فإن «قوس الجيب» و«قوس جيب تمام» الزاوية هما أطوال الأقواس الفعلية.

التدوين الأكثر استخدامًا هو تسمية الدوال المثلثية العكسية باستخدام البادئة "arc"، مثل: $\arcsin (x)$ ،$\arccos (x)$ $\arctan (x)$... وهكذا، هذا التدوين يقابله بالعربية: قوس الجيب، قوس جيب التمام... .

أول من استخدم الرموز قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي هو عالم الرياضيات جون هيرشل. كان ذلك في عام 1813.

غالبًا ما تستخدم تلك التدوينات التي أدخلها جون هيرشل، وهذا الاتفاق يتوافق مع تدوين دالة عكسية. قد يبدو هذا يتعارض منطقياً مع الدلالات الشائعة لعبارات مثل ${\sin }^2(x)$، والتي تشير إلى الأُس بدلاً من تركيب الدالة، وبالتالي قد تؤدي إلى الخلط بين مقلوب العدد والدالة العكسية.

الخصائص الأساسية

القيم الرئيسية

بما أن الدوال المثلثية الست غير متباينة، تم اقتصارها حتى تكون لها دوال عكسية. لذلك، تكون مديات الدوال العكسية مجموعات فرعية لمديات الدوال الأصلية. فمثلا، على سبيل المثال، باستخدام الدالة بمعنى الدوال متعددة القيم، تمامًا كما يمكن تعريف دالة الجذر التربيعي قالب:تعبير رياضي من قالب:تعبير رياضي، يتم تعريف الدالة قالب:تعبير رياضي كـ sin(y) = x.

إسم	ترميز	تعريف	مجال الدالة	مدى الدالة (راديان)	مدى الدالة (درجات)
قوس جيب الزاوية	y = قالب:تعبير رياضي	x = قالب:تعبير رياضي	$-1\le x\le 1$	$-\frac{\pi }{2}\le y\le \frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }\le y\le 90^{\circ }$
قوس جيب تمام الزاوية	y = قالب:تعبير رياضي	x = قالب:تعبير رياضي	$-1\le x\le 1$	$0\le y\le \pi$	$0\le y\le 180^{\circ }$
قوس ظل الزاوية	y = قالب:تعبير رياضي	x = قالب:تعبير رياضي	كل الأعداد الحقيقية ($ℝ$)	$-\frac{\pi }{2}<y<\frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
قوس ظل تمام الزاوية	y = قالب:تعبير رياضي	x = قالب:تعبير رياضي	كل الأعداد الحقيقية ($ℝ$)	$0<y<\pi$	$0<y<180^{\circ }$
قوس قاطع الزاوية	y = قالب:تعبير رياضي	x = قالب:تعبير رياضي	$x\le -1$ أو $x\ge 1$	$0\le y<\frac{\pi }{2}$ أو $\frac{\pi }{2}<y\le \pi$	$0\le y<90^{\circ }$ أو $90^{\circ }<y\le 180^{\circ }$
قوس قاطع تمام الزاوية	y = قالب:تعبير رياضي	x = قالب:تعبير رياضي	$x\le -1$ أو $x\ge 1$	$-\frac{\pi }{2}\le y<0$ أو $0<y\le \frac{\pi }{2}$	$-90^{\circ }\le y<0$أو $0<y\le 90^{\circ }$

العلاقات بين الدوال المثلثية والدوال المثلثية العكسية

$\theta$	$\sin (\theta )$	$\cos (\theta )$	$\tan (\theta )$	رسم توضيحي
$\arcsin (x)$	$\sin (\arcsin (x))=x$	$\cos (\arcsin (x))=\sqrt{1-x^2}$	$\tan (\arcsin (x))=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
$\arccos (x)$	$\sin (\arccos (x))=\sqrt{1-x^2}$	$\cos (\arccos (x))=x$	$\tan (\arccos (x))=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$
$\arctan (x)$	$\sin (\arctan (x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos (\arctan (x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan (\arctan (x))=x$
$\mathrm{arccsc}(x)$	$\sin (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{1}{x}$	$\cos (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$	$\tan (\mathrm{arccsc}(x))=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$\mathrm{arcsec}(x)$	$\sin (\mathrm{arcsec}(x))=\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}$	$\cos (\mathrm{arcsec}(x))=\frac{1}{x}$	$\tan (\mathrm{arcsec}(x))=\sqrt{x^2-1}$
$\mathrm{arccot}(x)$	$\sin (\mathrm{arccot}(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$	$\cos (\mathrm{arccot}(x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$	$\tan (\mathrm{arccot}(x))=\frac{1}{x}$

العلاقات بين الدوال المثلثية العكسية

زوايا متتامة:

$\begin{array}{cc}\arccos (x)& =\frac{\pi }{2}-\arcsin (x)\\ \mathrm{arccot}(x)& =\frac{\pi }{2}-\arctan (x)\\ \mathrm{arccsc}(x)& =\frac{\pi }{2}-\mathrm{arcsec}(x)\end{array}$

مداخلها عبارة عن مقابل متغيرها:

$\begin{array}{cc}\arcsin (-x)& =-\arcsin (x)\\ \arccos (-x)& =\pi -\arccos (x)\\ \arctan (-x)& =-\arctan (x)\\ \mathrm{arccot}(-x)& =\pi -\mathrm{arccot}(x)\\ \mathrm{arcsec}(-x)& =\pi -\mathrm{arcsec}(x)\\ \mathrm{arccsc}(-x)& =-\mathrm{arccsc}(x)\end{array}$

مداخلها عبارة عن مقلوب متغيرها:

$\begin{array}{cc}\arccos \left(\frac{1}{x}\right)& =\mathrm{arcsec}(x)\\ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right)& =\mathrm{arccsc}(x)\\ \arctan \left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{\pi }{2}-\arctan (x)=\mathrm{arccot}(x),\text{ if }x>0\\ \arctan \left(\frac{1}{x}\right)& =-\frac{\pi }{2}-\arctan (x)=\mathrm{arccot}(x)-\pi ,\text{ if }x<0\\ \mathrm{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccot}(x)=\arctan (x),\text{ if }x>0\\ \mathrm{arccot}\left(\frac{1}{x}\right)& =\frac{3\pi }{2}-\mathrm{arccot}(x)=\pi +\arctan (x),\text{ if }x<0\\ \mathrm{arcsec}\left(\frac{1}{x}\right)& =\arccos (x)\\ \mathrm{arccsc}\left(\frac{1}{x}\right)& =\arcsin (x)\end{array}$

المتطابقات

متطابقات المجموع والفرق

$\arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin (\alpha \sqrt{1-{\beta }^2}\pm \beta \sqrt{1-{\alpha }^2})$

$\arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos (\alpha \beta \mp \sqrt{(1-{\alpha }^2)(1-{\beta }^2)})$

$\arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left(\frac{\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }\right)$

متطابقات أخرى

$\arcsin (x)+\arccos (x)=\frac{\pi }{2}$

$\arctan (x)+\mathrm{arccot}(x)=\frac{\pi }{2}.$

$\arctan (x)+\arctan \left(\frac{1}{x}\right)=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2},& \text{if }x>0\\ -\frac{\pi }{2},& \text{if }x<0\end{array}$

$\arccos (x)+\arccos (-x)=\pi .$

$\begin{array}{cc}\arccos (x)& =\arcsin \left(\sqrt{1-x^2}\right),\text{ if }0\le x\le 1\\ \arccos (x)& =\frac{1}{2}\arccos (2x^2-1),\text{ if }0\le x\le 1\\ \arcsin (x)& =\frac{1}{2}\arccos (1-2x^2),\text{ if }0\le x\le 1\\ \arcsin (x)& =\arctan \left(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\\ \arctan (x)& =\arcsin \left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)\end{array}$

اشتقاق وتكامل الدوال المثلثية العكسية

اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية

تُبين فيما يلي، اشتقاقات الدوال المثلثية العكسية بالنسبة لقيم عقدية أو حقيقية للمتغير x:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\arcsin x& =\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arccos x& =\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{dx}\arctan x& =\frac{1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccot}x& =\frac{-1}{1+x^2}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}\end{array}$

= المتساويتان التاليتان صالحتان فقط عندما يكون العدد x حقيقيا:

$\begin{array}{cc}\frac{d}{dx}\mathrm{arcsec}x& =\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\\ \frac{d}{dx}\mathrm{arccsc}x& =\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}};|x|>1\end{array}$

على سبيل المثال، إذا توفر $\theta =\arcsin x$، فإنه يُحصل على ما يلي:

$\frac{d\arcsin x}{dx}=\frac{d\theta }{d\sin \theta }=\frac{d\theta }{\cos \theta d\theta }=\frac{1}{\cos \theta }=\frac{1}{\sqrt{1-{\sin }^2\theta }}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

تكاملات الدوال المثلثية العكسية

باستخدام التكامل بالتجزئة، نجد أن:

$\begin{array}{cc}\int \arcsin (x)dx& =x\arcsin (x)+\sqrt{1-x^2}+C\\ \int \arccos (x)dx& =x\arccos (x)-\sqrt{1-x^2}+C\\ \int \arctan (x)dx& =x\arctan (x)-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\\ \int \mathrm{arccot}(x)dx& =x\mathrm{arccot}(x)+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C\\ \int \mathrm{arcsec}(x)dx& =x\mathrm{arcsec}(x)-\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\\ \int \mathrm{arccsc}(x)dx& =x\mathrm{arccsc}(x)+\ln (x+\sqrt{x^2-1})+C\end{array}$

المتسلسلات غير المنتهية

يمكننا تعبير عن بعض د.م.ع. بواسطة متسلسلة ماكلورين:

$\begin{array}{cc}\arcsin (x)& =x+\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}+\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}+\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}+\cdots \\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(2^{n}n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$

$\arctan (x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1}$

$\begin{array}{cc}\arccos (x)& =\frac{\pi }{2}-\arcsin (x)=\frac{\pi }{2}-x-\left(\frac{1}{2}\right)\frac{x^3}{3}-\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)\frac{x^5}{5}-\left(\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}\right)\frac{x^7}{7}-\cdots \\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\\ & =\frac{\pi }{2}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{(2^{n}n!{)}^2}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}\end{array}$

حيث تشير قالب:تعبير رياضي إلى عاملي ثنائي (ميز عن «عاملي مرتين» قالب:تعبير رياضي).

الكسور المستمرة لدالة الظل العكسية

فيما يلي، كسران مستمران معممان يمثلان دالة الظل العكسية. قد يستعملان تعويضا لمتسلسلة القوى للتعبير عن دالة الظل العكسية.

$\arctan z=\frac{z}{1+\frac{(1z{)}^2}{3-1z^2+\frac{(3z{)}^2}{5-3z^2+\frac{(5z{)}^2}{7-5z^2+\frac{(7z{)}^2}{9-7z^2+\ddots }}}}}=\frac{z}{1+\frac{(1z{)}^2}{3+\frac{(2z{)}^2}{5+\frac{(3z{)}^2}{7+\frac{(4z{)}^2}{9+\ddots }}}}}$

الشكل اللوغاريتمي للدوال

قد يتم التعبير عن هذه الدوال أيضًا باستخدام اللوغاريتمات العقدية. هذا يمَدِّد مجالاتهما إلى المستوي العقدي (المركّب) بطريقة طبيعية. تشبه هذه التعبيرات العبارات اللوغاريتمية للدوال الزائدية العكسية.

$\begin{array}{ccc}\arcsin (z)& =-i\ln (iz+\sqrt{1-z^2})& =\mathrm{arccsc}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \arccos (z)& =-i\ln (z+\sqrt{z^2-1})=\frac{\pi }{2}+i\ln (iz+\sqrt{1-z^2})=\frac{\pi }{2}-\arcsin (z)& =\mathrm{arcsec}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \arctan (z)& =\frac{i}{2}\ln \left(\frac{i+z}{i-z}\right)=\frac{i}{2}[\ln (1-iz)-\ln (1+iz)]& =\mathrm{arccot}\left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arccot}(z)& =\frac{i}{2}\ln \left(\frac{z-i}{z+i}\right)=\frac{i}{2}[\ln (1-\frac{i}{z})-\ln (1+\frac{i}{z})]& =\arctan \left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arcsec}(z)& =-i\ln (\sqrt{\frac{1}{z^2}-1}+\frac{1}{z})=i\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{i}{z})+\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}-\mathrm{arccsc}(z)& =\arccos \left(\frac{1}{z}\right)\\ \mathrm{arccsc}(z)& =-i\ln (\sqrt{1-\frac{1}{z^2}}+\frac{i}{z})& =\arcsin \left(\frac{1}{z}\right)\end{array}$

التمثيلات البيانية للدوال

التمثيلات البيانية للدوال في المَعْلَم الديكارتي.

• 
  قالب:تكبير
• 
  قالب:تكبير
• 
  قالب:تكبير

انظر أيضًا

• دوال مثلثية
• قائمة المتطابقات المثلثية
• لوغاريتم عقدي
• عمدة عدد مركب
• جذر تربيعي
• قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية
• دالة ابتدائية
• دوال زائدية عكسية