1 − 2 + 3 − 4 + ···

في الرياضيات، تشير صيغة 1 − 2 + 3 − 4 + ··· إلى متسلسة غير منتهية والتي تكون حدودها أعداد صحيحة موجبة ذات إشارة متناوبة.^[١] وباستخدام صيغة مجموع سيغما، يكون مجموع الحدود m الأولى من هذه المتسلسة معطى بالعلاقة:

\sum_{n = 1}^{m} n (- 1)^{n - 1}

هذه المتسلسلة هي متسلسلة متباعدة، لأن المجاميع الجزئية لهذه المتسلسلة (1، -1، 2، -2...) لا تؤول إلى قيمة محدودة. على الرغم من ذلك فإن أويلر كتب في القرن الثامن عشر مفارقة تنص بأن المجموع الكلي لهذه المتسلسة هو 1/4 بالشكل:

1 - 2 + 3 - 4 + \dots = \frac{1}{4}

وظلت تلك المفارقة بدون إثبات لمدة طويلة. ومنذ عام 1890، قام إرنست سيزارو وإيميل بوريل وآخرون بدراسة طرق محددة لتعيين مجاميع عامة للمتسلسلات المتباعدة تتضمن تفسيرات جديدة لمحاولة أويلر. الكثير من تلك الطرق تحقق أن مجموع متسلسلة قالب:بدون لف هو القيمة ¹⁄₄. كانت طريقة «مجموع سيزارو» من الطرق القلائل التي لم تعطي مجموعا لمتسلسلة قالب:بدون لف، ولذلك تعد هذه المتسلسلة مثالا على المتسلسلات التي تحتاج إلى طريقة أقوى مثل مجموع آبل.

متسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... مرتبطة ب متسلسلة غراندي قالب:بدون لف. تعامل أويلر مع هاتين المتسلسلتين كحالة خاصة من ( قالب:بدون لف) لقيم اختيارية للمتغير n، وهناك أبحاث لتعميم عمله على معضلة بازل تؤدي إلى معادلة دالية لما يُعرف بـ دالة إيتا لدركليه و دالة زيتا لريمان.

التباعد

حدود المتسلسلة (1, −2, 3, −4, ...) لا تؤول إلى 0، وبالتالي فإن قالب:بدون لف تتباعد وفق اختبار الحد النوني. وفقا للتعريف فإن تقارب أو تباعد متسلسلة محدودة يمكن تحديده من تقارب أو تباعد مجاميعها الجزئية. المجاميع الجزئية لـ قالب:بدون لف هي:^[٢]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

...

يُلاحظ أن كل عدد صحيح (Integer) يظهر مرة واحدة فقط، حتى الـ0 في حالة المجموع الجزئي الفارغ ( empty partial sum) وبالتالي فهو مجموعة قابلة للعد للمجموعة $ℤ$ (أعداد صحيحة).^[٣] متتالية المجاميع الجزئية توضح أن المتسلسلة لا تتقارب إلى رقمٍ ما (لأي نهاية مفترضة x، يمكن إيجاد نقطة تالية بحيث أن المجاميع الجزئية التالية لها تقع جميعها خارج الفترة [x−1, x+1])، لذلك فإن المتسلسلة قالب:بدون لف متباعدة.

الاستدلال على الجمع

الاستقرار والخطية

حيث أن العناصر 1, −2, 3, −4, 5, −6, ... تتبع نظام بسيط، فإن المتسلسلة قالب:بدون لف يمكن التعامل معها بإزاحة العناصر واحدا واحدا ثم الجمع لإيجاد قيمة لها. إذا قلنا أن... + s = 1 − 2 + 3 − 4، فالطريقة التالية توضح أن قالب:بدون لف قالب:بحاجة لمصدر

\begin{matrix} 4 s & = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) \\ = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + (1 - 2) + (3 - 4 + 5 - 6 \dots) \\ = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + 1 + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & - 1 + (3 - 4 + 5 - 6 \dots) \\ = & 1 + & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + (- 2 + 3 - 4 + 5 + \dots) & + (3 - 4 + 5 - 6 \dots) \\ = & 1 + [ & (1 - 2 - 2 + 3) & + (- 2 + 3 + 3 - 4) & + (3 - 4 - 4 + 5) & + (- 4 + 5 + 5 - 6) + \dots] \\ = & 1 + [ & 0 + 0 + 0 + 0 + \dots] \\ 4 s & = & 1 \end{matrix}

أي أن $s = \frac{1}{4}$ . ويمكن توضيح ذلك بالرسم المقابل.

رغم أن 1 − 2 + 3 − 4 + ... ليس لها مجموع بمجرد النظر، إلا أن قالب:بدون لف يمكن دعمها إذا أردنا تعريف ذلك المجموع. هناك العديد من الطرق (بعضها مذكور أدناه) للتعامل مع مجموع متسلسلة متباعدة. ومن المفضل لتلك الطرق أن يكون لها بعض خصائص جمع المتسلسلات العادية. وباستخدام أية طريقة للجمع (خطية ومستقرة) فإن مجموع قالب:بدون لف هو ¹⁄₄.^[٤]

وحيث أن:

\begin{matrix} 2 s & = & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) & + & (1 - 2 + 3 - 4 + \dots) \\ = & 1 + & (- 2 + 3 - 4 + \dots) & + 1 - 2 & + (3 - 4 + 5 \dots) \\ = & 0 + & (- 2 + 3) + (3 - 4) + (- 4 + 5) + \dots \\ 2 s & = & 1 - 1 + 1 - 1 \dots \end{matrix}

فهذه الطريقة يمكن استخدامها لإثبات أن مجموع متسلسلة غراندي قالب:بدون لف^[٤]

مضروب كوشي

في عام 1891، أعطى إيرنست سيزارو أملا في إيجاد حلولا رياضية للمتسلسلات المتباعدة، فمثلا قالب:بدون لف وكلا الطرفان يساوي ¹⁄₄.^[٥] وكان ذلك تطبيقا لنظرية نشرها سيزارو في العام السابق، والتي تُعد أول نظرية في التاريخ لجمع المتسلسلات المتباعدة.^[٦] وبيان ذلك الجمع كالتالي: الفكرة المحورية هي أن قالب:بدون لف هي مضروب كوشي (التفاف رقمي) لكلا من قالب:بدون لف مع قالب:بدون لف.

يمكن تعريف مضروب كوشي لمتسلسلتين لا نهائيتين حتى لو كانت كلتاهما متباعدة. ففي حالة ما إذا كان a_n = b_n = (−1)ⁿ، فإن عناصر مضروب كوشي تُعطى بمجموع الأقطار المحدود

\begin{matrix} c_{n} & = & \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} = \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (- 1)^{n - k} \\ = & \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{n} = (- 1)^{n} (n + 1) . \end{matrix}

وبالتالي فإن متسلسلة الضرب هي:

\sum_{n = 0}^{\infty} (- 1)^{n} (n + 1) = 1 - 2 + 3 - 4 + \dots .

فطريقة الجمع التي توافق مضروب كوشي لمتسلسلتين، والتي أثبتت أن مجموع المتسلسلة قالب:بدون لفهو 1/2 يمكنها أيضا أن تثبت أن مجموع المتسلسلة قالب:بدون لف هو 1/4. مما سبق فهناك توافق بين طرق جمع قالب:بدون لف و قالب:بدون لف مع الطرق الخطية المستقرة التي تحقق مضروب كوشي.

وتعد نظرية سيزارو مثالا واضحا لذلك. المتسلسلة قالب:بدون لف قابلة للجمع (وفق سيزارو) بأقل درجة، وتسمى قابلة للجمع-قالب:بدون لف بينما المتسلسلة قالب:بدون لف تحتاج شكل أقوى من نظريات سيزارو،^[٧] هي قابلة للجمع-قالب:بدون لف وحيث أن كل أشكال نظرية سيزارو هي خطية ومستقرة، فإن نتائج الجمع هي كما أسلفنا.

طرق خاصة

سيزارو وهولدر

لإيجاد مجموع سيزارو (C, 1) للمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... إذا كان موجودا، يجب حساب المتوسطات الحسابية للمجاميع الجزئية للمتسلسلة. المجاميع الجزئية هي:

1، −1، 2، −2، 3، −3...

والمتوسطات الحسابية لتلك المجاميع الجزئية هي:

1، 0، ²⁄₃، 0، ³⁄₅، 0، ⁴⁄₇....

وهذه المتوسطات لا تتقارب، ولذلك فالمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... ليست قابلة للجمع وفق سيزارو.

هناك تعميمان مشهوران لجمع سيزارو: أبسطهما هو طرق (H, n) للأعداد الطبيعية n. حيث (H, 1) هو مجموع سيزارو، والطرق الأعلى تُكرر حساب المتوسطات. كما نرى -أعلاه- فإن المتوسطات الزوجية تتقارب إلى ¹⁄₂، بينما المتوسطات الفردية جميعها يساوي 0، وبذلك يكون متوسط المتوسطات يتقارب إلى 0 و ¹⁄₂، أي ¹⁄₄.^[٨] وبالتالي يمكن القول أن قالب:بدون لف هي قابلة للجمع (H, 2) وتؤول إلى ¹⁄₄.

الرمز "H" يعود للعالِم Otto Hölder، والذي يُعد أول من أثبت في عام 1882 ما يعتبره الرياضاتيون الآن الرابط بين «مجموع آبل» ومجموع (H, n); المتسلسلة قالب:بدون لف كانت أول مثال.^[٩] حقيقة أن ¹⁄₄ هي مجموع (H, 2) للمتسلسلة قالب:بدون لف أكدت أنها هي «مجموع آبل» أيضا، وسيتم أثبات ذلك لاحقا.

التعميم الآخر لجمع سيزارو هو طرق (C, n). حيث ثبت أن جمع (C, n) وجمع (H, n) دائما يعطيان نفس النتائج، لكن لهما خلفيات مختلفة. في عام 1887، اقترب سيزارو من وضع تعريف جمع (C, n)، لكنه أعطى أمثلة قليلة. فقد ذكر أن مجموع المتسلسلة قالب:بدون لف هو القيمة ¹⁄₄ بطريقة يمكن اعتبارها قريبة من طريقة جمع (C, n) لكنها لم يتم تحقيقها في ذلك الوقت. وقد قام بصياغة طريقة جمع (C, n) في عام 1890 لينص على أن مضروب كوشي لمتسلسة قابلة للجمع-(C, n) ومتسلسلة قابلة للجمع-(C, m) هو متسلسلة قاببة للجمع- (C, m + n + 1).^[١٠]

مجموع آبل

ملف:Pm1234 Abel-2.jpg

في عام 1749، قرر أويلر أن المتسلسلة تتباعد لكنه حاول إيجاد مجموع لها بأية طريقة: قالب:اقتباس

قدَّم أويلر عدة تعميمات لكلمة «جمع». في حالة المتسلسلة قالب:بدون لفتُعد فكرته مشابهة لما يُعرف بـ «مجموع آبل»:

ليس هناك شك في أن مجموع المتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + 5 هو 1⁄4، لأنها تأتي من مفكوك المعادلة  $\frac{1}{(1 + 1)^{2}} .$  والتي قيمتها 1⁄4. ويمكن توضيح الفكرة باعتبار المتسلسلة العامة ( $1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3} + \dots$ ). والتي تظهر في مفكوك  $\frac{1}{(1 + x)^{2}} .$ ، الذي يساوي هذه المتسلسلة عندما نضع x = 1.^[١١]

هناك طرق عديدة لبيان ذلك، على الأقل للقيم المطلقة $| x | < 1 .$ ، فإن أويلر على صواب في ذلك:

1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3} + \dots = \frac{1}{(1 + x)^{2}} .

يمكن إيجاد مفكوك تايلور للجانب الأيمن من المعادلة أو تطبيق طريقة القسمة المطولة لكثيرات الحدود. بدءاً بالجانب الأيسر، يمكن متابعة الحل أعلاه ويمكن الضرب في قالب:بدون لف مرتين أو تربيع المتسلسلة الهندسية $1 - x + x^{2} - \dots$ . اقترح أويلر أيضا اشتقاق المتسلسلة الأخيرة عنصرا عنصرا.^[١٢]

وفقا للنظرة الحديثة فإن المتسلسلة $1 - 2 x + 3 x^{2} - 4 x^{3} \dots$ ليست مُعرفة كدالة عند قالب:بدون لف، وبالتالي لا يمكن التعويض بهذه القيمة في تلك العلاقة. وحيث أن الدالة مُعرفة عند كل $| x | < 1 .$ ، يمكننا أخذ النهاية عندما x تؤول إلى 1، وهذا هو تعريف «مجموع آبل»:

\lim_{x \to 1^{-}} \sum_{n = 1}^{\infty} n (- x)^{n - 1} = \lim_{x \to 1^{-}} \frac{1}{(1 + x)^{2}} = \frac{1}{4} .

أويلر وبوريل

طبق أولير طريقة أخرى على تلك المتسلسلة: تحويل أويلر هو واحد من ابتكاراته، ولحساب تحويل أويلر نبدأ بالحدود الموجبة للمتسلسلة وهي قالب:بدون لف ونعطي التسمية a₀ للعنصر الأول.

ثم نحسب الفروق المحدودة (forward differences) لهذه الأرقام قالب:بدون لف، والتي هي قالب:بدون لف نسمي أول عنصر منها Δa₀. يعتمد تحويل أويلر على «فروق الفروق»، لكن كل الفروق لـ قالب:بدون لف هي 0. وبالتالي فإن تحويل أويلر لـ قالب:بدون لف يمكن تعريفه أنه:

\frac{1}{2} a_{0} - \frac{1}{4} Δ a_{0} + \frac{1}{8} Δ^{2} a_{0} - \dots = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} .

أو يمكن القول أن قالب:بدون لف قابلة للجمع «وفق أويلر» وقيمتها ¹⁄₄.

قابلية الجمع عند أويلر تتضمن أن قالب:بدون لف هو

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} (k + 1),

وهي المعادلة المرتبطة بالمتسلسلات المتقاربة

a (x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} (k + 1) x^{k + 1}}{(k + 1)!} = x \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(- x)^{k}}{k!} = e^{- x} x .

«مجموع بوريل» للمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ...هو:^[١٣]

\int_{0}^{\infty} e^{- x} a (x) d x = \int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} x d x = - \frac{\partial}{\partial β} |_{2} \int_{0}^{\infty} e^{- β x} d x = - \frac{\partial}{\partial β} |_{2} β^{- 1} = \frac{1}{4} .

فصل المقاييس Separation of scales

توصل سيتشيف وويكشينسكي إلى أن قالب:بدون لف بتطبيق مبدأين فقط هما: (infinitesimal relaxation) و (separation of scales). وكان هذان المبدأن سببا لتعريف طرق عديدة أطلقا عليها اسم ("φ-summation methods")، وجميعها أعطى نفس النتيجة بأن مجموع هذه المتسلسلة هو ¹⁄₄:

إذا كان (φ(x هي دالة بحيث أن المشتقتين الأولى والثانية لها متصلتان وقابلتان للتكامل على الفترة (0, ∞)، بحيث أن φ(0) = 1 ونهايات (φ(x و (xφ(x عند +∞ هي 0، فإن^[١٤]

\lim_{δ \to 0} \sum_{m = 0}^{\infty} (- 1)^{m} (m + 1) φ (δ m) = \frac{1}{4} .

هذه النتيجة تعتبر تعميم لمجموع آبل، والذي يمكن الحصول عليه عند تساوي كلا من (φ(x و (exp(-x. ويمكن إثبات هذا التعميم بأخذ أزواج من عناصر المتسلسلة على m وتحويلها إلى تكامل ريمان. وفق الخطوة الأخيرة فإن الإثبات المناظر لمتسلسلة غراندي قالب:بدون لف يُطبق مبرهنة القيمة الوسطى، لكننا نحتاج صيغة لاجرانج الأقوى من مبرهنة تايلور.

تعميم

مضروب كوشي الثلاثي (threefold) للمتسلسلة قالب:بدون لف هو قالب:بدون لف وهي متسلسلة مترددة من الأعداد المثلثية، والتي مجموعها وفق «آبل» و «أويلر» هو ¹⁄₈.^[١٥] مضروب كوشي الرباعي (fourfold) لـ قالب:بدون لف هو قالب:بدون لف وهي متسلسلة مترددة من الأعداد الهرمية الثلاثية. ومجموع آبل لها هو ¹⁄₁₆.

تعميم آخر للمتسلسلة 1 − 2 + 3 − 4 + ... بطريقة أخرى للمتسلسلة $1 - 2^{n} + 3^{n} - \dots$ لقيم أخرى لـ n.

لقيم n الصحيحة، يكون لهذه المتسلسة مجاميع آبل التالية:^[١٦]

1 - 2^{n} + 3^{n} - \dots = \frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1} B_{n + 1}

حيث B_n هي أعداد بيرنولي.

لقيم n الزوجية، يُختصر ذلك إلى

1 - 2^{2 k} + 3^{2 k} - \dots = 0 .

وهذا المجموع الأخير كان مثارا للسخرية من آبل في عام 1826، حيث قال: المتسلسلات المتباعدة هي من عمل الشيطان، وإنه لمن العار أن يجرؤ أحد للبحث عن إثبات لها. يمكن للمرء أن يُخرج منها ما يريده إذا استخدمهم، وهي التي تجلب الكثير من التعاسة والكثير من المفارقات. هل يمكن للمرء أن يفكر في أي شيء أكثر رعبا من القول بأن $1 - 2^{n} + 3^{n} - \dots = 0$ ، حيث n هو رقم موجب. إنه شيء يدعو للضحك يا أصدقائي.^[١٧]

كان أوجين شارل كاتالان، مُعلم سيزارو، يستخف بالمتسلسلة المتباعدة. وبتأثير كاتالان، أشار سيزارو في البداية إلى «الصيغ التقليدية» للمتسلسلة $1 - 2^{n} + 3^{n} - \dots$ هي «معادلات سخيفة»، وفي عام 1883 أعرب سيزارو عن وجهة نظر نموذجية لذلك الوقت بأن تلك الصيغ كانت خطأ ولكنها لا تزال بطريقة أو بأخرى مفيدة رسميا. وأخيرا، في عام 1890، اتخذ سيزارو نهجا حديثا بدءا من التعاريف، وقام بنشره في (Sur la multiplication des séries).^[١٨]

تم دراسة المتسلسلات لقيم n غير الصحيحة، فنتج عنها دالة إيتا لدركليه. كانت المعادلة الدالية لـ«دالة إيتا» هي أحد دوافع أويلر لدراسة المتسلسلات المتعلقة بـ قالب:بدون لف، والتي أدت مباشرةً إلى المعادلة الدالية لـ دالة زيتا لريمان. فقد أصبح أويلر مشهورا بإيجاد قيم هذه الدوال عند الأعداد الصحيحة الزوجية (بما في ذلك معضلة بازل)، وحاول إيجاد القيم عند الأعداد الصحيحة الفردية (بما في ذلك ثابتة أبيري) أيضا، وهي مشكلة لم تحل حتى الآن. يمكن التعامل مع دالة إيتا بسهولة بطرق أويلر لأن متسلسلة دركليه قابلة للجمع وفق آبل; بينما دالة زيتا لدركليه يصعب جمعها إذا كانت متباعدة.^[١٩] على سبيل المثال فإن المقابل للمتسلسلة قالب:بدون لف في دالة زيتا هي المتسلسلة (غير المترددة) قالب:بدون لف, والتي لها تطبيقات هامة في الفيزياء الحديثة لكنها تحتاج طرق أكثر قوة لجمعها.

المراجع

قالب:مراجع

المصادر

قالب:بداية المراجع

قالب:استشهاد بكتاب
قالب:استشهاد بكتاب
قالب:استشهاد ويب Originally published as قالب:استشهاد بدورية محكمة
قالب:استشهاد بدورية محكمة
قالب:استشهاد بكتاب
قالب:استشهاد بكتاب 2nd Ed. published by Chelsea Pub. Co., 1991. قالب:Lccn. قالب:ردمك.
قالب:استشهاد بدورية محكمة
قالب:استشهاد بكتاب
قالب:استشهاد بكتاب Author also known as A. I. Markushevich and Alekseï Ivanovitch Markouchevitch. Also published in Boston, Mass by Heath with قالب:OCLC. Additionally, قالب:OCLC, قالب:OCLC.
قالب:استشهاد بكتاب
قالب:استشهاد بدورية محكمة
قالب:استشهاد بكتاب
قالب:استشهاد بكتاب

قالب:نهاية المراجع قالب:شريط بوابات

↑ Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF). math.ucr.edu (December 19, 2003). Retrieved on March 11, 2007. قالب:Webarchive
↑ Hardy p.8
↑ Beals p.23
↑ ^٤٫٠ ^٤٫١ Hardy p.6
↑ Ferraro, p.130.
↑ Hardy, p.8.
↑ Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.
↑ Hardy, p.9. For the full details of the calculation, see Weidlich, pp.17–18.
↑ Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro criticizes Tucciarone's explanation (p.7) of how Hölder himself thought of the general result, but the two authors' explanations of Hölder's treatment of 1 − 2 + 3 − 4 + ... are similar.
↑ Ferraro, pp.123–128.
↑ Euler et al., pp. 3, 25.
↑ For example, Lavine (p. 23) advocates long division but does not carry it out; Vretblad (p.231) calculates the Cauchy product. Euler's advice is vague; see Euler et al., pp. 3, 26. John Baez even suggests a category-theoretic method involving multiply pointed sets and the quantum harmonic oscillator. Baez, John C. Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF). math.ucr.edu (December 19, 2003). Retrieved on March 11, 2007. قالب:Webarchive
↑ Weidlich p. 59
↑ Saichev and Woyczyński, pp.260–264.
↑ Kline, p.313.
↑ Hardy, p.3; Knopp, p.491.
↑ Grattan-Guinness, p.80. See Markushevich, p.48, for a different translation from the original لغة فرنسية; the tone remains the same.
↑ Ferraro, pp.120–128.
↑ Euler et al., pp.20–25.

[1] Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF). math.ucr.edu (December 19, 2003). Retrieved on March 11, 2007. قالب:Webarchive

[2] Hardy p.8

[3] Beals p.23

[Hardy_p.6-4] ٤٫٠ ^٤٫١ Hardy p.6

[5] Ferraro, p.130.

[6] Hardy, p.8.

[7] Hardy, p.3; Weidlich, pp.52–55.

[8] Hardy, p.9. For the full details of the calculation, see Weidlich, pp.17–18.

[9] Ferraro, p.118; Tucciarone, p.10. Ferraro criticizes Tucciarone's explanation (p.7) of how Hölder himself thought of the general result, but the two authors' explanations of Hölder's treatment of 1 − 2 + 3 − 4 + ... are similar.

[10] Ferraro, pp.123–128.

[11] Euler et al., pp. 3, 25.

[12] For example, Lavine (p. 23) advocates long division but does not carry it out; Vretblad (p.231) calculates the Cauchy product. Euler's advice is vague; see Euler et al., pp. 3, 26. John Baez even suggests a category-theoretic method involving multiply pointed sets and the quantum harmonic oscillator. Baez, John C. Euler's Proof That 1 + 2 + 3 + ... = −1/12 (PDF). math.ucr.edu (December 19, 2003). Retrieved on March 11, 2007. قالب:Webarchive

[13] Weidlich p. 59

[14] Saichev and Woyczyński, pp.260–264.

[15] Kline, p.313.

[16] Hardy, p.3; Knopp, p.491.

[17] Grattan-Guinness, p.80. See Markushevich, p.48, for a different translation from the original لغة فرنسية; the tone remains the same.

[18] Ferraro, pp.120–128.

[19] Euler et al., pp.20–25.

[١]

[٢]

[٣]

[٤]

[٥]

[٦]

[٧]

[٨]

[٩]

[١٠]

[١١]

[١٢]

[١٣]

[١٤]

[١٥]

[١٦]

[١٧]

[١٨]

[١٩]