معيار المصفوفة

في الرياضيات، معيار المصفوفة قالب:إنج هو تطبيق لمبدأ معيار المتجه علي المصفوفات.

تعريف

في ما يلي: الرمز $K$ سيعبر عن مجال الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة. نفرض أن $K^{m\times n}$ يمثل الفضاء المتجهي الذي يحتوي كل المصفوفات ذات $m$ صف و$n$ عمود ذات مدخلات تنتمي للمجال $K$، أيضًا $A^{*}$ هي مصفوفة تمثل مرافق المصفوفة $A$.

معيار المصفوفة هو معيار متجه ينتمي إلى $K^{m\times n}$ بحيث إذا كانت $\Vert A\Vert$ تمثل معيار المصفوفة $A$ فإن:

• $\Vert A\Vert \ge 0$
• $\Vert A\Vert =0$ إذا كان $A=0$
• $\Vert \alpha A\Vert =|\alpha |\Vert A\Vert$ لكل $\alpha$ في $K$ لكل المصفوفات $A$ تنتمي إلى $K^{m\times n}$
• $\Vert A+B\Vert \le \Vert A\Vert +\Vert B\Vert$ لكل المصفوفات $A$ و$B$ في $K^{m\times n}$

بالإضافة إلى ذلك، فإنه في حالة المصفوفة المربعة قالب:بدون لف فإن بعض (وليس الكل) المصفوفات تحقق التالي:

• $\Vert AB\Vert \le \Vert A\Vert \Vert B\Vert$ لكل المصفوفات $A$ و$B$ في $K^{n\times n}$

معيار العامل الرياضي

إذا كان معيار المتجه في $K^n$ و$K^m$ معطي (حيث $K$ هو مجال الأعداد الطبيعية والمركبة) فإنه يمكن تعريف معيار العامل الرياضي المكافئ كما يلي:

$\begin{array}{cc}\Vert A\Vert & =\sup \{\Vert Ax\Vert :x\in K^n\text{ with }\Vert x\Vert =1\}\\ & =\sup \{\frac{\Vert Ax\Vert }{\Vert x\Vert }:x\in K^n\text{ with }x\ne 0\}\end{array}$

ويكون معيار العامل الرياضي المكافئ للمعيار p في المتجهات (ويرمز له ب $\Vert A{\Vert }_p$) كما يلي:

$\Vert A{\Vert }_p=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x\ne 0}\frac{\Vert Ax{\Vert }_p}{\Vert x{\Vert }_p}$

حيث قالب:بدون لف

هناك 3 الحالات الخاصة عند ∞,p = 1,2, ، يمكن حساب قيم المعيار كما يلي:

• $\Vert A{\Vert }_1=\underset{1\le j\le n}{\max }\sum _{i=1}^m|a_{ij}|$ وهو ببساطة أقصي مجموع مطلق لعمود من أعمدة المصفوفة
• $\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\underset{1\le i\le m}{\max }\sum _{j=1}^n|a_{ij}|$ وهو ببساطة أقصى مجموع مطلق لصف من صفوف المصفوفة
• $\Vert A{\Vert }_2\le {(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n|a_{ij}{|}^2)}^{1/2}$ هذه العلاقة صحيحة بشرط أن تكون المصفوفة $A$ من الدرجة -1 أو صفرية.

مثال:

• إذا كانت المصفوفة $A$ معطاة كالتالي

$A=\left[\begin{array}{ccc}-3& 5& 7\\ 2& 6& 4\\ 0& 2& 8\end{array}\right],$

فإن

$\Vert A{\Vert }_1=\max (|-3|+2+0,5+6+2,7+4+8)=\max (5,13,19)=19$

و

$\Vert A{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\max (|-3|+5+7,2+6+4,0+2+8)=\max (15,12,10)=15.$

عند قالب:بدون لف فإن المعيار يسمي المعيار الإكليدي قالب:إنج وفي هذه الحالة يساوي أكبر قيمة فردية ويساوي أيضًا الجذر التربيعي للقيمة الذاتية للمصفوفة المعرفة الموجبةA^∗A :

$\Vert A{\Vert }_2=\sqrt{{\lambda }_{\max }(A^{{}^{*}}A)}={\sigma }_{\max }(A)$

حيث A^∗ تمثل مرافق المصفوفة A.