معادلة تكاملية

المعادلة التكاملية في علم الرياضيات هي معادلة حيث يظهر فيها دالة غير مُعرفة بجوار إشارة التكامل، وهناك صلة كبيرة بين المعادلات التكاملية والمعادلات التفاضلية، وفي بعض المسائل يمكن أعادة صياغتها بأحدي الطريقتين، على سبيل المثال معادلات ماكسويل.

نظرة عامة

النوع الأكثر شيوعًا من المعادلات التكاملية يُدعي معادلة فريدهولم التكاملية من النوع الأول وتكون على شكل:

$f(x)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

ومن خلال تدوينات العالم جورج براون أركفين فإن قالب:Mvar هي دالة غير معروفة، قالب:تعبير رياضي هي دالة معروفة، و K هي دالة أخرى من متغيرين معروفة وعادة ما تُدعي دالة كيرنل، ويجب ملاحظة أن نهايات التكامل عبارة عن وهذا ما يميز دالة فريدهولم.

إذا كانت الدالة الغير معروفة توجد داخل وخارج التكامل فإنها تُدعي دالة فريدهولم التكاملية من النوع الثاني وتكون على شكل:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{b}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

حيث المتغير قالب:Mvar هو معامل غير معروف، والذي يلعب نفس دور متجه ذاتي في الجبر الخطي.

وإذا كانت إحدي النهايات للتكامل متغيرة القيمة فإنها تُدعي معادلة فولتيرا.

ومعادلة فولتيرا من النوع الأول والثاني تكون علي الشكل الآتي بالترتيب:

$f(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt$

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)\phi (t)dt.$

وإذا كانت الدالة قالب:تعبير رياضي في المعادلات السابقة تساوي صفرًا فأنها تُدعي معادلة تكاملية متجانسة، وأما إذا كانت قالب:تعبير رياضي بقيمة غير صفرية فأنها تُدعي معادلة تكاملية غير متجانسة.

الحل العددي

والمعادلات التكاملية ليس لها مدلول إذا عادة لا يكون لها حل تحليلي ويجب أن يتم حلها عدديًا، ومثال علي ذلك هو حساب معادلة المجال الكهربي التكاملية أو معادلة المجال المغناطيسي التكاملية علي جسم مُشكل بإحكام في مسائل التشتت الكهرومغناطيسي.

وهناك طريقة للحل عدديًا تتطلب متغيرات جديدة واستبدال التكامل بطريقة التربيع.

$\sum _{j=1}^n{w}_{j}K(s_i,t_j)u(t_j)=f(s_i),i=0,1,\cdots ,n.$

من ثم فإننا الآن لدينا نظام بعدد معادلات قالب:Mvar ومتغيرات عددها قالب:Mvar وعن طريق حل تلك المعادلات فإننا نحصل علي قيمة لتلك المتغيرات.

$u(t_0),u(t_1),\cdots ,u(t_n).$

التصنيف

يتم تصنيف المعادلات التكاملية طبقًا لثلاث تفرعات ليكون الكل هو ثمان أنواع مختلفة:

نهايات التكامل

كلتا النهايتين ثابتتين: معادلة فريدهولم التكاملية

إحدي النهايات متغيرة: معادلة فولتيرا التكاملية

مكان المعادلة الغير معروفة

بداخل التكامل فقط: النوع الأول

بداخل وخارج التكامل: النوع الثاني

طبيعة الدالة المعروفة قالب:تعبير رياضي

تساوي صفرًا: متجانسة

لا تساوي صفر: غير متجانسة

والمعادلات التكاملية مهمة جدًا في كثير من التطبيقات فكثيرًا ما يتم استخدام المعادلات التكاملية بداخلها مثل انتقال الطاقة المشعة و تموجالحبل والأغشية ومحور العجلة. ومسائل التموج أو التذبذب يمكن أن يتم حلها بواسطة المعادلات التفاضلية.

ومعادلات فولتيرا وفريدهولم التكاملية كلاهما معادلات تكاملية خطية نتيجة للسلوك الخطي لـقالب:تعبير رياضي خلال التكامل، ومعادلة فولتيرا الغير خطية يكون لها صيغة عامة على شكل:

$\phi (x)=f(x)+\lambda \underset{a}{\overset{x}{\int }}K(x,t)F(x,t,\phi (t))dt,$

حيث قالب:Mvar دالة معروفة.

معادلات فينر-هوبف التكاملية

نوربرت فينر

$y(t)=\lambda x(t)+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}k(t-s)x(s)ds,0\le t<\mathrm{\infty }.$

في الأصل فإن معادلات مثل تلك تم دراستها وتجربتها علي مسائل في الانتقال الإشعاعي ومؤخرًا تم ربطها بحل معادلات تكاملية حدية للمسائل التي تتعامل مع المستويات التي تكون حدودها صغيرة للغاية.

حل المتسلسلة الأسية للمعادلات التكاملية

في كثير من الحالات إذا كان التحويل التكاملي كيرنل لمعادلة تكاملية علي صيغة قالب:تعبير رياضي وتحويل ميلين علي صيغة قالب:تعبير رياضي لهما قيمة فحينئذ يُمكن إيجاد حل للمعادلة التكاملية

$g(s)=s\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dtK(st)f(t)$

في شكل متسلسلة أسية

$f(t)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{M(n+1)}{x}^n$

حيث

$g(s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{s}^{-n},M(n+1)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dtK(t)t^n$

و قالب:تعبير رياضي هي تحويل ميلين لكيرنل.

المعادلات التكاملية كحالة عامة من المتجهات الذاتية

المعادلات التكاملية الخطية المتجانسة يمكن النظر إليها كنهاية متصلة لمعادلات المتجهات الذاتية وبإستخدام الترميز الأبجدي فمعادلة القيم الذاتية أو المتجهات الذاتية يمكن كتابتها علي الشكل الآتي:

$\sum _j{M}_{i,j}{v}_j=\lambda v_i$

حيث قالب:تعبير رياضي هي مصفوفة و قالب:تعبير رياضي أحد المتجهات الذاتية الخاصة بها و قالب:Mvar قيمة ذاتية خاصة بها أيضًا.

وبأخذ النهاية المتصلة عن طريقة استبدال الحروف الأبجدية قالب:Mvar و قالب:Mvar بمتغيرات متصلة قالب:Mvar و قالب:Mvar فإننا نحصل علي:

$\int K(x,y)\phi (y)\mathrm{d}y=\lambda \phi (x),$

حيث تم استبدال الجمع عند قالب:Mvar بتكامل عند قالب:Mvar والمصفوفة قالب:تعبير رياضي والمتجه قالب:تعبير رياضي تم استبداله بمتغيرات كيرنل قالب:تعبير رياضي و المعادلة الذاتية قالب:تعبير رياضي،(والنهايات الخاصة بالتكامل ثابتة بالقياس علي نهايات الجمع عند قالب:Mvar ) ومن هذا فإننا نحصل علي معادلة فريدهولم التكاملية من النوع الثاني.

وبشكل عام فإن قالب:تعبير رياضي يمكن أن تكون توزيع رياضي بدلًا من أن تكون دالة بالمفهوم التقليدي الصارم. وإذا كان التوزيع قالب:Mvar عند النقطة قالب:تعبير رياضي فقط فعندئذٍ تقل المعادلة التكاملية إلي معادلة ذاتية.

انظر أيضًا

• معادلة تفاضلية
• توزيع (رياضيات)
• نوربرت فينر