معادلات كيرشوف

\begin{matrix} \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \vec{ω}} & = \frac{\partial T}{\partial \vec{ω}} \times \vec{ω} + \frac{\partial T}{\partial \vec{v}} \times \vec{v} + {\vec{Q}}_{h} + \vec{Q}, \\ \frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial \vec{v}} & = \frac{\partial T}{\partial \vec{v}} \times \vec{ω} + {\vec{F}}_{h} + \vec{F}, \\ T & = \frac{1}{2} ({\vec{ω}}^{T} \tilde{I} \vec{ω} + m v^{2}) \\ {\vec{Q}}_{h} & = - \int p \vec{x} \times \hat{n} d σ, \\ {\vec{F}}_{h} & = - \int p \hat{n} d σ \end{matrix}

$\vec{ω}$ و $\vec{v}$ السرعة الزاوية والخطية على محور $\vec{x}$ , زخم موتّر العطالة $\tilde{I}$ , $m$ الكتلة , $\hat{n}$ وحدة طبيعية عند نقطة على سطح الجسم $\vec{x}$ , $p$ الضغط , ${\vec{Q}}_{h}$ عزم الدوران ${\vec{F}}_{h}$ القوة .

إذا كان الجسم مغمور كليا

\frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \vec{ω}} = \frac{\partial L}{\partial \vec{ω}} \times \vec{ω} + \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} \times \vec{v}, \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} = \frac{\partial L}{\partial \vec{v}} \times \vec{ω},

L (\vec{ω}, \vec{v}) = \frac{1}{2} (A \vec{ω}, \vec{ω}) + (B \vec{ω}, \vec{v}) + \frac{1}{2} (C \vec{v}, \vec{v}) + (\vec{k}, \vec{ω}) + (\vec{l}, \vec{v}) .

تكون القراءة الأولى للتفاضل

J_{0} = (\frac{\partial L}{\partial \vec{ω}}, \vec{ω}) + (\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}, \vec{v}) - L, J_{1} = (\frac{\partial L}{\partial \vec{ω}}, \frac{\partial L}{\partial \vec{v}}), J_{2} = (\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}, \frac{\partial L}{\partial \vec{v}})

.

المراجع

Kirchhoff G. R. Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik. Lecture 19. Leipzig: Teubner. 1877.
Lamb, H., Hydrodynamics. Sixth Edition Cambridge (UK): Cambridge University Press. 1932.