مصفوفة الصلابة

قالب:يتيمة قالب:لا مصدر قالب:مقالة غير مراجعة في طريقة محدودة العناصر لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية عددياً، تمثل مصفوفة الصلابة مصفوفة تُستخدم لحل نظام المعادلات الخطية الذي يُمكّن من الحصول على حل تقريبي للمعادلة التفاضلية.

مصفوفة الصلابة لمسألة بواسون

للتبسيط، نعتبر معادلة بواسون:

$-{\mathrm{\nabla }}^{2}u=f$

في نطاق معين قالب:تعبير رياضي، مع شرط الحد قالب:تعبير رياضي على حدود قالب:تعبير رياضي. لتفكيك هذه المعادلة باستخدام طريقة محدودة العناصر، يتم اختيار مجموعة من دوال الأساس قالب:تعبير رياضي محددة على قالب:تعبير رياضي والتي تكون قيمها صفرية على الحدود. يتم بعد ذلك تقريب الحل كالتالي:

$u\approx u^h=u_1{\phi }_1+\cdots +u_n{\phi }_n.$

تُحَدَّدُ المعاملات قالب:تعبير رياضي بحيث يكون الخطأ في التقريب متعامداً مع كل دالة أساس قالب:Mvar:

$\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\int }{\phi }_i\cdot f,dx=-\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\int }{\phi }_i{\mathrm{\nabla }}^2{u}^h,dx=-\sum _j(\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\int }{\phi }_i{\mathrm{\nabla }}^2{\phi }_j,dx),u_j=\sum _j(\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }{\phi }_i\cdot \mathrm{\nabla }{\phi }_j,dx)u_j.$

وذلك كنتيجة لشرط الحدود ديريشلت المتجانس. يتم تعريف مصفوفة الصلابة، وهي مصفوفة مربعة من الحجم قالب:Mvar، كما يلي:

${𝐀}_{ij}=\underset{x\in \mathrm{\Omega }}{\int }\mathrm{\nabla }{\phi }_i\cdot \mathrm{\nabla }{\phi }_j,dx.$

وبتعريف المتجه قالب:تعبير رياضي بمكونات ${𝐅}_i=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{\phi }_{i}f,dx,$ يتم تحديد المعاملات قالب:Mvar عن طريق حل النظام الخطي قالب:تعبير رياضي. تكون مصفوفة الصلابة متماثلة، أي قالب:تعبير رياضي، مما يعني أن جميع القيم الذاتية لها حقيقية. علاوة على ذلك، تكون محددة إيجابياً تماماً، مما يضمن وجود حل وحيد للنظام قالب:تعبير رياضي. (في مسائل أخرى، قد لا تحتفظ هذه الخصائص الجيدة.)

لاحظ أن مصفوفة الصلابة تختلف حسب الشبكة الحسابية المستخدمة للنطاق ونوع العنصر المحدد في طريقة العناصر المحدودة. على سبيل المثال، تختلف مصفوفة الصلابة عند استخدام العناصر الخطية المجزأة عن تلك المستخدمة عند استخدام العناصر التربيعية المجزأة.

مصفوفة الصلابة لمسائل أخرى

تُحَدَّدُ مصفوفة الصلابة لمسائل المعادلات التفاضلية الجزئية الأخرى باستخدام إجراء مماثل، ولكنه قد يتعقد حسب اختيار شروط الحدود. قالب:شريط بوابات