مشتق اتجاهي

قالب:مصادر أكثر في الرياضيات، يمثل المشتق الاتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه معين $\overrightarrow{v}$ عند نقطة معينة $x$ معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه . لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة.

الترميز

لتكن $f$ دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة $f$ على طول متجه $\overrightarrow{v}$ بأي مما يلي:

• :${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)$،
• $f{\text{'}}_{𝐯}(𝐱)$،
• $D_{𝐯}f(𝐱)$،
• $Df(𝐱)(𝐯)$،
• ${\partial }_{𝐯}f(𝐱)$،
• $𝐯\cdot \mathrm{\nabla }f(𝐱)$،
• $𝐯\cdot \frac{\partial f(𝐱)}{\partial 𝐱}.$

التعريف

خط منسوب للدالة $f(x,y)=x^2+y^2$، يظهر متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة $𝐮$ تحجيم بواسطة مشتق الاتجاه على طول $𝐮$ باللون البرتقالي. يكون متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل لزيادة دالة.

المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :

$f(𝐱)=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

على طول متجه :

$𝐯=(v_1,\dots ,v_n)$

هو الدالة

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f$

المُعرفة بالنهاية التالية:

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(𝐱+h𝐯)-f(𝐱)}{h}.$

إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في

$𝐱$

، فإن المشتق الإتجاهي موجود، ويُعبر عنه ب:

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)=\mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot 𝐯$

بحيث

$\mathrm{\nabla }$

ترمز إلى التدرج و

$\cdot$

هو الجداء النقطي، وهذه القاعدة هي مجرد تطبيق لتعريف المشتق الإتجاهي :

$\begin{array}{cc}0& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+tv)-f(x)-t{D}_f(x)(v)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x+tv)-f(x)}{t}-D_f(x)(v)={\mathrm{\nabla }}_{v}f(x)-D_f(x)(v)\\ ⟹& \mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot 𝐯=D_f(x)(v)={\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f(𝐱)\end{array}$

خصائص

الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال $f$ و $g$ معرفة على مجالٍ، والقابلة للإشتقاق في $p$، فهي تستوفي الخصائص الآتية:

1. قاعدة الجمع :

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(f+g)={\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f+{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}g.$

2 . قاعدة العامل الثابت :

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(cf)=c{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f.$

3 . قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس) :

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(fg)=g{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}f+f{\mathrm{\nabla }}_{𝐯}g.$

4 . قاعدة السلسلة ( إذا كانت

$h$

قابلة للإشتقاق في

$g(p)$

و

$g$

في

$p$

) :

${\mathrm{\nabla }}_{𝐯}(h\circ g)(𝐩)=h^{\prime }(g(𝐩)){\mathrm{\nabla }}_{𝐯}g(𝐩).$

المشتق العمودي

المشتق العمودي هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما، إذا كان هذا المتجه هو

$\overrightarrow{n}$

، فيرمز للمشتق العمودي بالآتي :

$\frac{\partial f}{\partial 𝐧}=\mathrm{\nabla }f(𝐱)\cdot 𝐧={\mathrm{\nabla }}_{𝐧}f(𝐱)=\frac{\partial f}{\partial 𝐱}\cdot 𝐧=Df(𝐱)[𝐧].$

انظر أيضا

• مشتق جزئي
• تدرج
• هندسة تفاضلية