متطابقة فاندرموند

في التوافقيات، متطابقة فانديرموند قالب:إنج هي المتطابقة التالية للمعاملات الثنائية:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{r})=\sum _{k=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r-k})$ حيث r و m و n أعداد صحيحة.

سميت هذه المتطابقة هكذا نسبة إلى ألكسندر ثيوفيل فانديرموند (1772)، رغم أنها كانت معروفة من قبل منذ 1303 لدى الرياضياتي الصيني زو شيجيه (شو شي-شييه).

براهين

جبري

بشكل عام، يعطى جداء متعددتي حدود درجتاهما "m" و "n" ، على التوالي، ب

$\left(\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i\right)\left(\sum _{j=0}^n{b}_j{x}^j\right)=\sum _{r=0}^{m+n}\left(\sum _{k=0}^r{a}_k{b}_{r-k}\right)x^r,$

من خلال النظرية الحدانية

$.(1+x{)}^{m+n}=\sum _{k=0}^{m+n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})x^k$

باستخدام النظرية الحدانية أيضا ل m و n، ثم المعادلة أعلاه لجداء حدوديتين، نحصل على:

$\begin{array}{cc}\sum _{k=0}^{m+n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})x^k& =(1+x{)}^{m+n}\\ & =(1+x{)}^m(1+x{)}^n\\ & =\left(\sum _{i=0}^m(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})x^i\right)\left(\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})x^j\right)\\ & =\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{r=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-r})\right)x^k,\end{array}$

من خلال مقارنة معاملات قالب:تعبير رياضي نجد أن

$.\sum _{r=0}^k(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{r})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k-r})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{k})$

مثال استعمال

أثبت أن

$.\sum _{r=0}^n{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r})}^2=(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})$

قالب:مخفي

متطابقة شو-فانديرموند

متطابقة شو-فانديرموند باسم فانديرموند والرياضياتي الصيني زو شيجيه (حوالي 1260 - حوالي 1320) تعمم متطابقة فانديرموند لقيم غير صحيحة (باستعمال التعريف المعمم للمعاملات الثنائية، $(\genfrac{}{}{0ex}{}{z}{k})=\frac{z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}$):

$,(\genfrac{}{}{0ex}{}{s+t}{n})=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{t}{n-k})$

مراجع

https://brilliant.org/wiki/vandermondes-identity/

قالب:استشهاد. قالب:شريط بوابات