متباينة هادفايغر-فنسلر

قالب:لا صندوق معلومات قالب:لا مصدر قالب:يتيمة قالب:بطاقة عامة في الرياضيات، متباينة هادفايغر-فنسلر قالب:إنج هي نتيجة في هندسة المثلثات في المستوى الإقليدي، تنص على أنه في مثلث في المستوى، أطوال أضلاعه b و a و c و مساحته A، تتحقق المتراجحة التالية:

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}A.(HF)$

متباينة فايتزينبوخ هي نتيجة بسيطة لمتباينة هادفايغر-فنسلر: إذا كانت b, a و c أطوال أضلاع مثلث في المستوى و A مساحته، فإن:

$a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt{3}A.(W)$

سميت متباينة هادفايغر-فنسلر هكذا نسبة إلى بول فنسلر وهوغو هادفايغر(1937).

برهان متفاوتة هادفايغر-فنسلر

من قانون جيب التمام نحصل على:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha$

حيث $\alpha$ هي الزاوية بين $b$ و $c$. يمكن تحويل هذا إلى:

$a^2=(b-c{)}^2+2bc(1-\cos \alpha )$

و لكون $A=\frac{1}{2}bc\sin \alpha$ فإنَّ:

$a^2=(b-c{)}^2+4A\frac{(1-\cos \alpha )}{\sin \alpha }$

الآن تذكر أن

$1-\cos \alpha =2{\sin }^2\frac{\alpha }{2}$

و

$\sin \alpha =2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2}$

باستخدام هذا نحصل على:

$a^2=(b-c{)}^2+4A\tan \frac{\alpha }{2}$

بفعل هذا لكل أضلاع المثلث وبجمع المتساويات نحصل على:

$a^2+b^2+c^2=(a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4A(\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \frac{\gamma }{2})$

$\beta$ و $\gamma$ هما الزاويتان الأخريتان للمثلث. بما أن أنصاف زوايا المثلث أصغر من $\frac{\pi }{2}$ فإن دالة $\tan$ محدبة فلدينا:

$\tan \frac{\alpha }{2}+\tan \frac{\beta }{2}+\tan \frac{\gamma }{2}\ge 3\tan \frac{\alpha +\beta +\gamma }{6}=3\tan \frac{\pi }{6}=\sqrt{3}$

باستخدام هذا نحصل على:

$a^2+b^2+c^2\ge (a-b{)}^2+(b-c{)}^2+(c-a{)}^2+4\sqrt{3}A$

هذه هي متباينة هادفايغر-فنسلر.

مراجع

• قالب:استشهاد بدورية محكمة
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: When Less is More: Visualizing Basic Inequalities. MAA, 2009, قالب:ردمك, pp. 84-86