متباينة برنولي

في التحليل الحقيقي، متراجحة برنولي المسماة هكذا نسبة إلى ياكوب بيرنولي، هي متراجحة تمكن من الاقتراب من دالة الأس ل $1 + x$ .^[١]

تنص المتراجحة على أن

$(1 + x)^{r} \geq 1 + r x$

لكل عدد صحيح $r \geq 0$ و لكل عدد حقيقي $x \geq - 1$ .

برهان المتراجحة

ليكن $x$ من $ℝ^{+}$ . لنبين بالترجع على $n$ أن: $(1 + x)^{n} \geq 1 + n x$

الخاصية صحيحة من أجل $n = 0$ لأن:

$(1 + x)^{0} \geq 1 + 0 x$

تكافئ $1 \geq 1$ .

نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل $n$ من $N$ .إذن:

$(1 + x) (1 + x)^{n} \geq (1 + x) (1 + n x)$ (لأن $(1 + x) \geq 0$ )

$(1 + x)^{n + 1} \geq 1 + n x + x + n x^{2} ⟸$

$. (1 + x)^{n + 1} \geq 1 + (n + 1) x + n x^{2} ⟸$

$(1 + x)^{n + 1} \geq 1 + (n + 1) x ⟸$

إذن الخاصية صحيحة من أجل $n + 1$ ، و منه النتيجة.