مبرهنة ستوكس المعممة

في حساب المتجهات وعلم الهندسة التفاضلية، مبرهنة ستوكس المعممة قالب:إنج أو مبرهنة ستوكس-كارتان، هي نص حول تكامل الصور التفاضلية على المشعبات، والذي يبسط ويعمم العديد من المبرهنات من حساب المتجهات. تنص مبرهنة ستوكس المعممة على أن تكامل الصورة التفاضلية ω على حدود بعض المشعب الموجه يساوي تكامل مشتقها الخارجي dω على كامل i، أي

$\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }\omega =\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }d\omega .$

مبرهنة ستوكس المعممة في شكلها الحديث صاغها إيلي كارتن في عام 1945، بعد العمل السابق على تعميم مبرهنات حساب المتجهات من قبل فيتو فولتيرا، وإدوارد غورسا، وهنري بوانكاريه.

هذا الشكل الحديث لمبرهنة ستوكس المعممة هو تعميم واسع للنتيجة الكلاسيكية التي أبلغها لورد كلفن إلى جورج ستوكس في رسالة بتاريخ 2 يوليو 2 يوليو 1850. وضع ستوكس المبرهنة كسؤال في امتحان قالب:وإو 1854، مما أدى إلى النتيجة التي تحمل اسمه. تم نشره لأول مرة من قبل هيرمان هانكل في 1861. ترتبط مبرهنة ستوكس الكلاسيكية هذه بالتكامل السطحي لدوران حقل متجهي قالب:تعبير رياضي على سطح (أي، تدفق دوران قالب:تعبير رياضي) في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد إلى تكامل خطي للحقل المتجهي على حدوده (المعروف أيضًا باسم «التكامل العروي»)

التفسير الرياضياتي:

ليكن قالب:تعبير رياضي منحنى مستوي جورداني ناعم متعدد التعريف. تستلزم مبرهنة منحنى جوردان بأن قالب:Mvar يقسم قالب:تعبير رياضي إلى مركبتين، أحدهما متراص والآخر غير متراص. ليكن يشير إلى الجزء المتراص المحدود من قبل قالب:Mvar ونفترض أن قالب:تعبير رياضي ناعم، مع قالب:تعبير رياضي. إذا كانت قالب:تعبير رياضي المنحنى الفضائي المعرف بـ قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي حقل متجهي ناعم على قالب:تعبير رياضي، إذن:

${\oint }_{\mathrm{\Gamma }}𝐅\cdot d\mathrm{\Gamma }=\underset{S}{\iint }\mathrm{\nabla }\times 𝐅\cdot d𝐒$

حيث يشير $\mathrm{\nabla }\times$ إلى المؤثر التفاضلي «دوران».

هذا البيان الكلاسيكي، إلى جانب مبرهنة التباعد الكلاسيكية، والمبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل، ومبرهنة غرين هي ببساطة حالات خاصة من الصيغة العامة المذكورة أعلاه.