مبرهنة العلم البريطاني

استناداً إلى مبرهنة العلم البريطاني، فإن المربعين الأحمرين لهما نفس المساحة الإجمالية للمربعين الأزرقين

في الهندسة الإقليدية، مبرهنة العلم البريطاني تنص على أنه إذا كانت النقطة P داخل المستطيل ABCD، فإن مجموع مربعَي المسافتين الإقليديتين بين P ورأسين متقابلين في هذا المستطيل، تساوي مجموع مربعي المسافتين بين P والنقطتين الأخريين المتقابلتين. أي أن: $A{P}^2+C{P}^2=B{P}^2+D{P}^2$ تتحقق المبرهنة أيضاً إذا كانت النقطة P خارج المستطيل ABCD، ويمكن تعميمها إلى أي نقطة في الفضاء الإقليدي.

بصورة عامة، سيكون مجموع مربعي المسافتين بين النقطة P وكل رأسين متقابلين في متوازي أضلاع على المستوي ذاته مختلفة، لكن الفرق سيعتمد على شكل متوازي الأضلاع، وليس على مكان النقطة P .

البرهان

البرهان

نرسم من النقطة P أعمدة على AB، BC، CD، AD، لتلاقيها في النقاط W، X، Y، Z على الترتيب، كما هو مرسوم على الشكل جانباً، نلاحظ أن WY يعامد XZ، وبتطبيق مبرهنة فيثاغورس ، وبملاحظة أن WP=AZ نجد أن:

• $A{P}^2=A{W}^2+W{P}^2=A{W}^2+A{Z}^2$
• $P{C}^2=W{B}^2+Z{D}^2$
• $B{P}^2=W{B}^2+A{Z}^2$
• $P{D}^2=Z{D}^2+A{W}^2$

ومنه: $A{P}^2+P{C}^2=(A{W}^2+A{Z}^2)+(W{B}^2+Z{D}^2)=(W{B}^2+A{Z}^2)+(Z{D}^2+A{W}^2)=B{P}^2+P{D}^2.$

التسمية

علم المملكة المتحدة بريطانيا.

الاسم مأخوذ من أنه عند رسم القطع المستقيمة الواصلة بين P ورؤوس المستطيل، ورسم الأعمدة من P على الأضلاع، يصبح الشكل الناتج شبيهاً بعلم الاتحاد.

انظر أيضاً

• مستطيل
• مستوي
• علم بريطانيا
• مربع عدد