قوانين دي مورغان

قالب:بطاقة عامة تستخدم قوانين دي مورجان في قواعد المنطق في وصف نتيجة عكس عمليتي الضرب المنطقي(و) and و الجمع المنطقي(أو) or

NOT (P OR Q) = (NOT P) AND (NOT Q)

NOT (P AND Q) = (NOT P) OR (NOT Q)

و عن طريق الإشارات

$\mathrm{\neg }(p\vee q)⟺(\mathrm{\neg }p)\wedge (\mathrm{\neg }q)$

$\mathrm{\neg }(p\wedge q)⟺(\mathrm{\neg }p)\vee (\mathrm{\neg }q)$

حيث أن:

• $\mathrm{\neg }$ علامة تعبر عن النفي المنطقي(لا)(NOT)
• $\wedge$ علامة تعبر عن الضرب المنطقي (و)(AND)
• $\vee$ علامة تعبر عن الجمع المنطقي(أو)(OR)
• $⟺$ علامة fiuoio متساويان منطقيا (إذا و فقط إذا)

وفي قوانيين الجبر البولييني

The intersection of A and B

الاتحاد والتقاطع يتبدلان تحت النفي.

$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}.$

حيث أن:

• $\bar{A}$ هي عكس A
• $\cap$ تعبير يدل علي التقاطع(AND)
• $\cup$ تعبير يدل علي الاتحاد(OR)

الإثبات الرياضي لنظرية دي مورجان

$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$ إذا وفقط إذا $\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$ و $\overline{A\cap B}\supseteq \bar{A}\cup \bar{B}$.

$x\in \overline{A\cap B}$

$x\notin A\cap B$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\in \bar{A}$ أو $x\in \bar{B}$

$x\in \bar{A}\cup \bar{B}$

لذلك $\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$

$x\in \bar{A}\cup \bar{B}$

$x\in \bar{A}$ أو $x\in \bar{B}$

$x\notin A$ أو $x\notin B$

$x\notin A\cap B$

$x\in \overline{A\cap B}$

لذلك $\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$

$\overline{A\cap B}\subseteq \bar{A}\cup \bar{B}$ و $\overline{A\cap B}\supseteq \bar{A}\cup \bar{B}$لذلك $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$

$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$ يمكن إثباتها بنفس الطريقة.