قائمة النهايات

هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة. مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.

نهاية الدوال بوجه عام

إذا كان $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ و $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$ ، فإن:

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}\text{ if }{L}_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^n=L_1^n$ إذا كان n عدد صحيح موجب.

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^{\frac{1}{n}}=L_1^{\frac{1}{n}}$ إذا كان n عدد صحيح موجب، وإذا كان a عدد زوجي، فإن $L_1>0$ .

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\text{ if }\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0\text{ or }\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (قاعدة لوبيتال)

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x(1+h))}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

نهاية بعض الدوال الخاصة

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{2}^n\underset{n-1}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\cdots \sqrt{2}}}}}}=\pi$

نهايات بعض الدوال الأولية

$\underset{x\to c}{\lim }a=a$

$\underset{x\to c}{\lim }x=c$

$\underset{x\to c}{\lim }ax+b=ac+b$

$\underset{x\to c}{\lim }{x}^r=c^r$ ، إذا كان r عدد صحيح موجب.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=$

$-\mathrm{\infty }$ إذا كان r عدد فردي

$+\mathrm{\infty }$ إذا كان r عدد زوجي

نهايات الدوال الأسية

دوال من الشكل a^g(x)

$\underset{x\to c}{\lim }{e}^x=e^c$، بسبب إستمرارية$e^x$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>1\\ 1,& a=1\\ 0,& 0<a<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-x}=\{\begin{array}{cc}0,& a>1\\ 1,& a=1\\ \mathrm{\infty },& 0<a<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{a}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{1/x}=\{\begin{array}{cc}1,& a>0\\ 0,& a=0\\ \text{does not exist},& a<0\end{array}$

دوال من الشكل x^g(x)

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^{1/x}=1$

دوال من الشكل f(x)^g(x)

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{\left(\frac{x}{x+k}\right)}^x=e^{-k}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e$
• $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+kx)}^{\frac{m}{x}}=e^{mk}$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{k}{x})}^{mx}=e^{mk}$
• $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+a\left(e^{-x}-1\right))}^{-\frac{1}{x}}=e^a$. This limit can be derived from this limit.

نهايات الدوال اللوغاريتمية

اللوغاريتم الطبيعي

$\underset{x\to c}{\lim }\ln x=\ln c$, بسبب استمرارية $\ln x$، على وجه الخصوص.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+1)}{x}=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\ln (1+a\left(e^{-x}-1\right))}{x}=a$. تتبع هذه النهاية قاعدة لوبيتال.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\ln x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\ln x}{x}=0$

لوغاريتمات ذات أساسات إختيارية

• من أجل قالب:تعبير رياضي :

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

• من أجل قالب:تعبير رياضي :

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

نهايات الدوال المثلثية

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

هذه النهايات تتبع كلا من استمرارية الجيب وجيب التمام.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ ، أو بشكل عام:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{ax}=1$ ، من أجل a ≠ 0.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{x}=a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}$ ، من أجل b ≠ 0.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\sin \left(\frac{1}{x}\right)=1$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n^{\pm }}{\lim }\tan (\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$ من أجل كل عدد صحيح n.

بسبب دورية الدوال المثلثية، ليس لديها نهاية عند قالب:تعبير رياضي.

النهايات عندما تؤول (x) إلى مالانهاية

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }N/x=0\text{ for any real }N$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ \text{does not exist},& N=0\\ -\mathrm{\infty },& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^N=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>0\\ 1,& N=0\\ 0,& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& N>1\\ 1,& N=1\\ 0,& -1<N<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{N}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/N^x=0\text{ for any }N>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{N}=\{\begin{array}{cc}1,& N>0\\ 0,& N=0\\ \text{does not exist},& N<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[N]{x}=\mathrm{\infty }\text{ for any }N>0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$

انظر

قائمة التكاملات