فضاء كامل

في الرياضيات وبالتحديد في التحليل الرياضي، فضاء كامل أو فضاء متري كامل قالب:إنج هو كل فضاء متري كل متتاليةٍ لكوشي فيه متقاربة (منتهية) نحو نهاية تنتمي هي الأخرى إلى هذا الفضاء.

تعريف

متتالية كوشي

يُقال عن متتالية قالب:تعبير رياضي في فضاء متري قالب:تعبير رياضي أنها لكوشي إذا توفر فيها ما يلي: مهما يكن r عددا حقيقيا موجبا قطعا (أي أن قالب:تعبير رياضي)، فإنه هناك عدد طبيعي قالب:Mvar حيث كلما كان عددان طبيعييان أكبر من هذا العدد، قالب:تعبير رياضي فإنه يتوفر ما يلي:

قالب:تعبير رياضي.

فضاء كامل

يقال عن فضاء متري قالب:تعبير رياضي أنه كامل إذا توفرت أحدي هذه الشروط المتكافئة الواحدة منهن مع الأخريات:

1. لكل متتالية لكوشي مكونة من نقط تنتمي إلى مجموعة X، نهاية تنتمي هي الأخرى إلى نفس المجموعة X.
2. كل متتالية لكوشي معرفة في X مجموعة تتقارب في X (أي أنها تتقارب من نقطة ما من X).

أمثلة

فضاء الأعداد الجذرية Q، مزودا بالقياس المتري الاعتيادي المتمثل في القيمة المطللقة عندما تُحسب على الفرق بين عددين جذريين، ليس بفضاء كامل. من أجل بيان ذلك، لتكن المتتالية المعرفة كما يلي قالب:تعبير رياضي و $x_{n+1}=\frac{x_n}{2}+\frac{1}{x_n}.$. هذه المتتالية هي متتالية لكوشي ولكنها لا تؤول إلى إلى أي عدد جذري. إذا كان لهذه المتتالية نهاية قالب:Mvar فإن $x=\frac{x}{2}+\frac{1}{x}$ أي أن $x^2=2$.