فضاء طوبولوجي مزدوج

فضاء طوبولوجي مزدوج هو مصطلح في الرياضيات يُستخدم للإشارة إلى مجموعة مزودة بطوبولوجيين. إذا كانت المجموعة هي $X$ والطوبولوجيان هما $\sigma$ و$\tau$، يُعبّر عن الفضاء الطوبولوجي المزدوج بـالرمز $(X,\sigma ,\tau )$.

الاستمرارية المزدوجة

يُطلق على خريطة $f:X\to X^{\prime }$ من الفضاء الطوبولوجي المزدوج $(X,{\tau }_1,{\tau }_2)$ بالنسبة إلى فضاء طوبولوجي مزدوج آخر $(X^{\prime },{{\tau }_1}^{\prime },{{\tau }_2}^{\prime })$ يُطلق عليها استمرارية مزدوجة إذا كانت $f$ مستمرة كخريطة من $(X,{\tau }_1)$إلى $(X^{\prime },{{\tau }_1}^{\prime })$ and as map وكخريطة من $(X,{\tau }_2)$ إلى $(X^{\prime },{{\tau }_2}^{\prime })$.

المتغيرات الطوبولوجية المزدوجة للخواص الطوبولوجية

بالتطابق مع الخصائص المعروفة جيدًا للفضاءات الطوبولوجية، هناك إصدارات للفضاءات الطوبولوجية المزدوجة.

• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $(X,{\tau }_1,{\tau }_2)$ هو فضاء مضغوط مزدوج إذا كان كل غطاء $\{U_i\mid i\in I\}$ لـ $X$ بـ $U_i\in {\tau }_1\cup {\tau }_2$, يحتوي على غطاء فرعي محدود.
• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $(X,{\tau }_1,{\tau }_2)$ هو هاوسدورف مزدوج إذا كان لأي نقطتين متمايزتين $x,y\in X$ يوجد فك لـ $U_1\in {\tau }_1$ و $U_2\in {\tau }_2$ إما مع $x\in U_1$ و $y\in U_2$ أو $x\in U_2$ و $y\in U_1$.
• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $(X,{\tau }_1,{\tau }_2)$ هو البعد الصفري المزدوج إذا كان يفتح في $(X,{\tau }_1)$ المغلقة في $(X,{\tau }_2)$ من قاعدة لـ $(X,{\tau }_1)$, وتفتح في $(X,{\tau }_2)$ المغلقة في $(X,{\tau }_1)$ من قاعدة لـ $(X,{\tau }_2)$.
• الفضاء الطوبولوجي المزدوج $(X,\sigma ,\tau )$ يسمى طبيعي مزدوج إذا كان لكل $F_{\sigma }$ $\sigma$-مغلق و$F_{\tau }$ $\tau$- مغلقة ومجموعات $G_{\sigma }$ $\sigma$-مفتوحة و $G_{\tau }$ $\tau$ومجموعات مفتوحة مثل $F_{\sigma }\subseteq G_{\tau }$ $F_{\tau }\subseteq G_{\sigma }$, و $G_{\sigma }\cap G_{\tau }=\mathrm{\varnothing }.$

المراجع

• Kelly, J. C. (1963). Bitopological spaces. Proc. London Math. Soc., 13(3) 71—89.
• Reilly, I. L. (1972). On bitopological separation properties. Nanta Math., (2) 14—25.
• Reilly, I. L. (1973). Zero dimensional bitopological spaces. Indag. Math., (35) 127—131.
• Salbany, S. (1974). Bitopological spaces, compactifications and completions. Department of Mathematics, University of Cape Town, Cape Town.
• Kopperman, R. (1995). Asymmetry and duality in topology. Topology Appl., 66(1) 1--39.