حلم الطالب الجامعي

التمثيل البياني للدالتين y = x^x وy = x^−x على الفترة (0،1).

حلم الطالب الجامعي هو اسم المتطابقة الرياضية التي إكتشفها الرياضياتي السويسري يوهان بيرنولي. والتي تنص على أن.

$\begin{array}{cccc}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{-x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^{-n}& & (=1.291285997\dots )\\ \underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx& =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}{n}^{-n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-n{)}^{-n}& & (=0.783430510712\dots )\end{array}$

البرهان

برهنة حلم الطالب الجامعي

بما أن $x^x$ يمكن كتابتها على هذا النحو

$x^x=\exp (x\ln x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n(\ln x{)}^n}{n!}.$

وبأخذ تكامل الطرفين

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{x}dx=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\ln x{)}^n}{n!}dx.$

وباستخدام التكامل بالتجزيء على $\int x^m(\ln x{)}^{n}dx$ بحيث u = (ln x)ⁿ وdv = x^m dx، نحصل على

$\int x^m(\ln x{)}^{n}dx=\frac{x^{m+1}(\ln x{)}^n}{m+1}-\frac{n}{m+1}\int x^{m+1}\frac{(\ln x{)}^{n-1}}{x}dx\text{(for }m\ne -1\text{)}$

راجع قائمة تكاملات الدوال اللوغارتمية.

وبالإستقراء الرياضي نجد

$\int x^m(\ln x{)}^{n}dx=\frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(m+1{)}^i}(\ln x{)}^{n-i}$

حيث (n) _i عاملي السقوط.

وبما أن m = n عددان صحيحان ومتسوايان.فإذاً

$\int x^n(\ln x{)}^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\cdot \sum _{i=0}^n(-1{)}^i\frac{(n{)}_i}{(n+1{)}^i}(\ln x{)}^{n-i}.$

وبالتكامل من (0,1) تختفي لدينا الحدود عند 0 ويبقى الحد الذي عند 1 لإن $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^m(\ln x{)}^n=0$ وفق قاعدة لوبتال، وبما أن ln(1) = 0, نجد:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^n(\ln x{)}^n}{n!}dx=\frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}(-1{)}^n\frac{(n{)}_n}{(n+1{)}^n}=(-1{)}^n(n+1{)}^{-(n+1)}.$

وبايجاد المجموع (وبتبديل نقطة البداية إلى n = 1بدلا من n = 0) نحصل على النتيجة.

انظر

حلم الطالب المبتدئ