جذع (رياضيات)

في الهندسة، جِذْع أو مجسم ناقص أو المنقوص قالب:لاتقالب:ملا هو جزء من مجسم (عادة هرم أو مخروط) يقطعه مستوى واحد أو مستويين متوازيين. قاعدته الأساسية مضلعة، وأوجهه الجانبية شبه منحرفة. الجذع القائم (right frustum) أو الهرم الناقص هو هرم منتظم أو مخروط منتظم قالب:وإو عموديًا على محوره.

إذا كانت كل حواف الجذع لها نفس الطول (شكل متساوي الأضلاع)، فهو منشور قالب:وإو.

قالب:وإو في الرسومات الحاسوبية، هو هرم قالب:وإو يمثل منطقة ثلاثية الأبعاد على الشاشة. طريقة استبعاد الجذع "frustum culling" من طرق قالب:وإو.

الجذع في صناعة الطيران، يكون على شكل مخروط مقطوع ويستخدم كغطاء للحمولة بين مرحلتين فيصاروخ متعدد المراحل (مثل ساتورن 5).

جذع

العناصر والحالات الخاصة والمفاهيم المتعلقة بها

جذع مربع

يمكن إنشاء "جذع مثلث" باستخدام ثماني السطوح

محور الجذع هو محور المخروط أو الهرم الأصلي. يكون الجذغ دائريًا إذا كانت قاعدته دائرية؛ ومنتظم إذا كان المحور عموديًا على كلتا القاعدتين، ومائل بخلاف ذلك.

ارتفاع الجذع هو المسافة العمودية بين مستوىات القاعدتين.

يمكن اعتبار المخروط والهرم حالات خاصة للجذع، حيث يمر أحد المستويات القاطعة عبر القمة (حيث تُمَثَّلْ القاعدة هنا بنقطة تقاطع المستوى مع نقطة رأس الهرم أو المخروط)، الجذع الهرمي هي فئة فرعية من المنشورات.

جذعان اثنان بقاعدتين متطابقتين متصلتين يصنعان قالب:وإو.

الصيغ الرياضية

الحجم

قدمت الرياضيات المصرية القديمة معادلة حجم الجذع الهرمي في بردية موسكو الرياضية، المكتوبة في الأسرة الثالثة عشر (قالب:قرابة):

$V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2),$

حيث قالب:Mvar هو طول ضلع القاعدة وقالب:Mvar هو طول ضلع السطح، وقالب:Mvar هو الارتفاع.

عرف المصريون الصيغة الصحيحة لحجم مثل هذا الهرم المربع المبتور، لكنها ظهرت بغير برهان في بردية موسكو.

حجم الجذع المخروطي أو الهرمي هو حجم الجسم قبل قطع «القمة»، مطروحًا منه حجم «القمة» المقطوعة هذه:

$V=\frac{h_1{B}_1-h_2{B}_2}{3},$

حيث قالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي هما مساحتي القاعدة والسطح، وقالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي هما الارتفاعات العمودية من القمة لمستويات القاعدة والسطح.

مع الأخذ في الاعتبار أن

$\frac{B_1}{h_1^2}=\frac{B_2}{h_2^2}=\frac{\sqrt{B_1{B}_2}}{h_1{h}_2}=\alpha ,$

يمكن التعبير عن صيغة الحجم على أنها ثلث جداء النسبة $\alpha$ مع فرق مكعبات الارتفاعات قالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي فقط:

$V=\frac{h_1\alpha h_1^2-h_2\alpha h_2^2}{3}=\alpha \frac{h_1^3-h_2^3}{3}.$

باستخدام المتطابقة قالب:تعبير رياضي ، يحصل المرء على:

$V=(h_1-h_2)\alpha \frac{h_1^2+h_1{h}_2+h_2^2}{3},$

حيث قالب:تعبير رياضي هو ارتفاع الجذع.

بتوزيع $\alpha$ والتعويض من تعريفها، نحصل على المتوسط الهيروني للمساحات قالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي :

$\frac{B_1+\sqrt{B_1{B}_2}+B_2}{3};$

لذا فإن الصيغة البديلة هي:

$V=\frac{h}{3}(B_1+\sqrt{B_1{B}_2}+B_2).$

اشتهر هيرو السكندري باشتقاقه لهذه الصيغة ومعها واجه الوحدة التخيلية: الجذر التربيعي لسالب واحد.

للتحديد:

• حجم المخروط الدائري هو:

$V=\frac{\pi h}{3}(r_1^2+r_1{r}_2+r_2^2),$

حيث قالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي هما نصف قطر القاعدة والسطح.

• حجم الجذع الهرمي الذي تكون قواعده عبارة عن قالب:Mvar -مضلع منتظم (حيث n تمثل عدد الضلوع) هو:

$V=\frac{nh}{12}(a_1^2+a_1{a}_2+a_2^2)\cot \frac{\pi }{n},$

حيث قالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي هما طولا ضلعي القاعدة والسطح.

frustum الهرمي

مساحة السطح

جذع مخروطي

ملف:Tronco cono 3D.stl للجذع المخروطي الدائرية المنتظم

$\begin{array}{cc}\text{Lateral surface area}& =\pi (r_1+r_2)s\\ & =\pi (r_1+r_2)\sqrt{{(r_1-r_2)}^2+h^2}\end{array}$

و

$\begin{array}{cc}\text{Total surface area}& =\pi ((r_1+r_2)s+r_1^2+r_2^2)\\ & =\pi ((r_1+r_2)\sqrt{{(r_1-r_2)}^2+h^2}+r_1^2+r_2^2)\end{array}$

حيث r ₁ وr ₂ هما نصف قطر القاعدة والسطح على الترتيب، وs هو الارتفاع المائل للجذع.

مساحة سطح الجذع المنتظم الذي له قواعد من مضلعات عادية متشابهة وعدد جوانبها n هي

$A=\frac{n}{4}[(a_1^2+a_2^2)\cot \frac{\pi }{n}+\sqrt{{(a_1^2-a_2^2)}^2{\sec }^2\frac{\pi }{n}+4h^2{(a_1+a_2)}^2}]$

حيث a1 وa2 هما جانبي القاعدتين.

أمثلة

شوكولاتة ماركة قالب:وإو لها تقريبا شكل جذع مخروطي دائري منتظم، على الرغم من أنها ليست مسطحة في الأعلى.

• على ظهر ورقة الدولار النقدية الأمريكية، يظهر جذع هرمي مقابل لختم الولايات المتحدة العظيم، تعلوه عين العناية الإلهية.
• مركز جون هانكوك في شيكاغو، إلينوي هو عبارة عن جذع وقواعده مستطيلة.
• نصب واشنطن هو جذع هرمي ضيق مربع الشكل يعلوه هرم صغير.
• في الترجمة الإنجليزية لمجموعة القصص القصيرة لسنانيسواف ليم The Cyberiad، تدعي قصيدة الحب وجبر الموترات أن «كل جذع يتوق إلى أن يكون مخروطًا».
• الدلاء وأغطية المصابيح النموذجية هي أمثلة يومية على الجذوع المخروطية.

روابط خارجية

• اشتقاق صيغة لحجم جذع هرمي ومخروط (Mathalino.com)
• قالب:MathWorld
• قالب:MathWorld