تكامل ناقصي

قالب:تفاضل وتكامل في الحساب التكاملي، نشأت التكاملات الناقصية أو التكاملات الإهليلجية قالب:إنج في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إيجاد طول قوس من القطع الناقص. تم دراستها لأول مرة من قبل قالب:وإو وليونهارت أويلر (حوالي 1750). تعرف الرياضيات الحديثة «التكامل الإهليلجي» على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:

$f(x)=\underset{c}{\overset{x}{\int }}R(t,\sqrt{P(t)})\mathrm{d}t,$

حيث قالب:تعبير رياضي هي دالة كسرية ذات متغيرين، و قالب:تعبير رياضي هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و قالب:تعبير رياضي هو ثابت.

عمومًا، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية. الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.

تدوين العمدة

التكاملات الاهليلجية غير التامة هي دوال لعمدتين (arguments). أما التكاملات الاهليلجية التامة، فهي دوال لعمدة واحدة.

• قالب:تعبير رياضي: قالب:وإو
• قالب:تعبير رياضي: الاختلاف المركزي.
• قالب:تعبير رياضي: الوسيط

التكاملات الإهليلجية غير التامة

التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الأول

يعرف التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول قالب:تعبير رياضي بـ:

$F(\phi ,k)=F(\phi |k^2)=F(\sin \phi ;k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}.$

هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ) و x = sin (φ)، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:

$F(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)\cdot (1-k^2{t}^2)}}.$

بدلالة السعة φ والاختلاف المركزي الزاوي:

$F(\phi \setminus \alpha )=F(\phi ,\sin \alpha )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}}.$

في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي «الوسيط»، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها «الاختلاف المركزي الزاوي». يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.

التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثاني

تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:

$E(\phi ,k)=E(\phi |k^2)=E(\sin \phi ;k)=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta .$

شكل جاكوبي:

$E(x;k)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{t}^2}}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t.$

وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:

$E(\phi \setminus \alpha )=E(\phi ,\sin \alpha )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}\mathrm{d}\theta .$

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:

$m(\phi )=a(E(\phi ,e)+\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{\phi }^2}E(\phi ,e)),$

حيث قالب:تعبير رياضي هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و قالب:تعبير رياضي هو إختلافه المركزي.

التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثالث

تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث قالب:تعبير رياضي على الشكل المثلثي:

$\mathrm{\Pi }(n;\phi \setminus \alpha )=\underset{0}{\overset{\phi }{\int }}\frac{1}{1-n{\sin }^2\theta }\cdot \frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-(\sin \theta \sin \alpha {)}^2}}$

أو

$\mathrm{\Pi }(n;\phi |m)=\underset{0}{\overset{\sin \phi }{\int }}\frac{1}{1-n{t}^2}\cdot \frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-m{t}^2)(1-t^2)}}.$

يُطلق على العدد n اسم المميزة ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن $\mathrm{\Pi }(1;\frac{\pi }{2}|m)$ لانهائي، مهما كان m.

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض قالب:تعبير رياضي أيضا بدلالة قالب:تعبير رياضي:

$m(\phi )=a(1-e^2)\mathrm{\Pi }(e^2;\phi |e^2).$

التكاملات الإهليلجية التامة

هي حالات خاصة للتكاملات غير التامة عندما تكون السعة تساوي قالب:كسر، وبالتالي x=1.

التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول قالب:تعبير رياضي

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول قالب:تعبير رياضي بـ:

$K(k)=F(\frac{\pi }{2},k)=F(\frac{\pi }{2}|k^2)=F(1;k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2{t}^2)}},$

يمكن استخدام مفكوكه:

$K(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right]}^2{k}^{2n}$

يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي:

$K(k)=\frac{\frac{\pi }{2}}{\mathrm{agm}(1,\sqrt{1-k^2})}.$

التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني $E(k)$

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني قالب:تعبير رياضي بـ:

$E(k)=E(\frac{\pi }{2},k)=E(1;k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }\mathrm{d}\theta =\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{\sqrt{1-k^2{t}^2}}{\sqrt{1-t^2}}\mathrm{d}t$.

بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:

$c=4aE(e)$

يمكن استخدام مفكوكه:

$E(k)=\frac{\pi }{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left[\frac{(2n)!}{2^{2n}(n!{)}^2}\right]}^2\frac{k^{2n}}{1-2n}=\frac{\pi }{2}\{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2\frac{k^2}{1}-{\left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)}^2\frac{k^4}{3}-\cdots -{\left[\frac{(2n-1)!!}{\left(2n\right)!!}\right]}^2\frac{k^{2n}}{2n-1}-\cdots \}.$

حيث $n!!$ هو عاملي ثنائي.

التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث $\mathrm{\Pi }(n,k)$ مع عدة قيم ثابتة لـ n $n$

تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث قالب:تعبير رياضي بـ:

$\mathrm{\Pi }(n,k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1-n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}.$

يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة قالب:تعبير رياضي،

${\mathrm{\Pi }}^{\prime }(n,k)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\frac{\mathrm{d}\theta }{(1+n{\sin }^2\theta )\sqrt{1-k^2{\sin }^2\theta }}.$

انظر أيضًا

• منحنى إهليلجي