تقسيم مصفوفة

في القواعد الرياضية للجبر الخطي، تقسيم المصفوفة هو تعبير يستخدم لتمثيل مصفوفة ما في صورة جمع أو طرح عدة مصفوفات. وتعتمد العديد من الطرق التكرارية (مثل نظام المعادلات التفاضلية) على حل معادلات المصفوفة مباشرة.

التقسيم الاعتيادي

نحن نسعي لحل المعادلة: قالب:مجموعة مرقمة حيث A هي مصفوفة n × n، وk هو متجه عمودي معطى يحتوي على n عنصر، فنقسم المصفوفة A إلى: قالب:مجموعة مرقمة حيث B وC هما مصفوفتان n × n. نقول أن A = B − C هي مصفوفة مقسمة، إذا كانت B⁻¹ ≥ 0 وC ≥ 0. ونفرض أن: قالب:مجموعة مرقمة

حيث g هو متجه عمودي معطى يمكن حله مباشرة للمتجه x. وبذلك يكون: قالب:مجموعة مرقمة

والمصفوفة D = B⁻¹C لا تحتوي على عناصر سالبة طالما (معادلة 2) تمثل تقسيم اعتيادي لـA.

الطرق التكرارية

يمكن وصف العديد من الطرق التكرارية على أنها تقسيم للمصفوفة. إذا كانت عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة A لا تساوي صفر، يتم التعبير عن A على أنها: قالب:مجموعة مرقمة حيث D هي الجزء القطري لـA، وU وL يمثلان على الترتيب مصفوفتان مثلثيتان علوية وسفلية بأبعاد n × n، ويصبح لدينا التالي.

يمكن التعبير عن طريقة جاكوبي في صورة مصفوفة كتقسيم قالب:مجموعة مرقمة

كذلك طريقة جاوس-سيدل قالب:مجموعة مرقمة

كذلك طريقة (successive over-relaxation) قالب:مجموعة مرقمة

أمثلة

التقسيم العادي

$\begin{array}{cc}& {𝐀}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}=\frac{1}{47}\left(\begin{array}{ccc}18& 13& 16\\ 11& 21& 15\\ 13& 12& 22\end{array}\right),{𝐁}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{6}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{4}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{5}\end{array}\right),\end{array}$

$\begin{array}{c}𝐃={𝐁}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}𝐂=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{3}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{4}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{3}{5}& \frac{1}{5}& 0\end{array}\right),{𝐁}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}𝐤=\left(\begin{array}{c}\frac{5}{6}\\ -3\\ 2\end{array}\right).\end{array}$

وحيث أن B⁻¹ ≥ 0 وC ≥ 0، فإن التقسيم (معادلة 11) هو تقسيم اعتيادي. قالب:مجموعة مرقمة

ويصبح بذلك الحل الأمثل للمعادلة: قالب:مجموعة مرقمة

يظهر الجدول التالي أول تكرارات للمعادلة (12)، بدءً بـقالب:تعبير رياضي. ومن الجدول نستطيع ملاحظة أن الطريقة تتجه نحو الحل (معادلة 13).

$x_1^{(m)}$	$x_2^{(m)}$	$x_3^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.83333	-3.0000	2.0000
0.83333	-1.7917	1.9000
1.1861	-1.8417	2.1417
1.2903	-1.6326	2.3433
1.4608	-1.5058	2.4477
1.5553	-1.4110	2.5753
1.6507	-1.3235	2.6510
1.7177	-1.2618	2.7257
1.7756	-1.2077	2.7783
1.8199	-1.1670	2.8238

طريقة جاوس-سيدل

نظرًا لأن القطر الرئيسي للمصفوفة A لا يحتوي على عناصر صفرية، فيمكن كتابة المصفوفة بالصيغة التالية: قالب:مجموعة مرقمة

$\begin{array}{cc}& \mathbf{(}𝐃\mathbf{-}𝐋{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}=\frac{1}{120}\left(\begin{array}{ccc}20& 0& 0\\ 5& 30& 0\\ 13& 6& 24\end{array}\right),\end{array}$

$\begin{array}{cc}& \mathbf{(}𝐃\mathbf{-}𝐋{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}𝐔=\frac{1}{120}\left(\begin{array}{ccc}0& 40& 60\\ 0& 10& 75\\ 0& 26& 51\end{array}\right),\mathbf{(}𝐃\mathbf{-}𝐋{\mathbf{)}}^{\mathbf{-}\mathrm{𝟏}}𝐤=\frac{1}{120}\left(\begin{array}{c}100\\ -335\\ 233\end{array}\right).\end{array}$

يظهر الجدول التالي أول تكرارات للمعادلة (15)، بدءً بـقالب:تعبير رياضي. ومن الجدول نستطيع ملاحظة أن الطريقة تتجه نحول الحل (معادلة 13)، لكن أسرع من طريقة جاكوبي الموضحة أعلاه.

$x_1^{(m)}$	$x_2^{(m)}$	$x_3^{(m)}$
0.0	0.0	0.0
0.8333	-2.7917	1.9417
0.8736	-1.8107	2.1620
1.3108	-1.5913	2.4682
1.5370	-1.3817	2.6459
1.6957	-1.2531	2.7668
1.7990	-1.1668	2.8461
1.8675	-1.1101	2.8985
1.9126	-1.0726	2.9330
1.9423	-1.0479	2.9558
1.9619	-1.0316	2.9708

مراجع

• قالب:استشهاد.
• قالب:استشهاد بكتاب
• قالب:استشهاد.