تحليل مقارب

في التحليل الرياضي ، يعد التحليل المقارب ، المعروف أيضًا باسم التقارب ، طريقة لوصف سلوك النهايات.

كتوضيح، افترض أننا مهتمون بخصائص الدالة قالب:تعبير رياضي بحيث قالب:Mvar هو عدد كبير جدًا. إذا كانت قالب:تعبير رياضي إذاً كلما كَبُرت قالب:Mvar ، قالب:تعبير رياضي تصبح ضئيلة مقارنة بــ قالب:تعبير رياضي. يُقال أن الدالة قالب:تعبير رياضي «مكافئة بشكل مقارب لـ قالب:تعبير رياضي ، عندما قالب:تعبير رياضي ». غالبًا ما يتم كتابة هذا على كشكل قالب:تعبير رياضي ، والذي يُقرأ « قالب:تعبير رياضي مقارب لـ قالب:تعبير رياضي ».

كمثال على نتيجة مقاربة مهمة نذكر مبرهنة الأعداد الأولية . لتكن قالب:تعبير رياضي هي الدالة المعدة للأعداد الأولية، أي أن قالب:تعبير رياضي هي عدد الأعداد الأولية التي تقل عن قالب:Mvar أو تساويها. ثم تنص المبرهنة على الآتي :

$.\pi (x)\sim \frac{x}{\ln x}$

تعريف

بالنظر إلى الدالتين قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي ، نحدد العلاقة الثنائية

$f(x)\sim g(x)$

عندما تؤول

$x$

إلى

$\mathrm{\infty }$

.

إذا وفقط إذا قالب:Harvard citation

$.\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=1$

الرمز قالب:تعبير رياضي هو تلدة . العلاقة هي علاقة تكافؤ على مجموعة دوال قالب:Mvar ؛ يقال أن الدالتين قالب:Mvar و قالب:Mvar مكافئتان تقاربيًا (أو بشكل مقارب) . يمكن أن يكون مجال قالب:Mvar و قالب:Mvar أي مجموعة بشرط أن تكون فيها النهاية معرفة: على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة والأعداد الصحيحة الموجبة.

خصائص

إذا كانت $f\sim g$ و $a\sim b$ ، ففي ظل بعض الظروف، الآتي صحيح.

• $f^r\sim g^r$ ، لكل قالب:Mvar
• $\log (f)\sim \log (g)$
• $f\times a\sim g\times b$
• $f/a\sim g/b$

تسمح هذه الخصائص بتبادل الدوال المتكافئة تقاربيًا بحرية في العديد من التعبيرات الجبرية.

أمثلة على الصيغ المقاربة

• عاملي

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n$

- هذا الأخير هو تقريب ستيرلينغ.

• دالة التجزئة

لعدد صحيح موجب $n$ ، تعطي دالة التجزئة $p(n)$ عدد طرق كتابة العدد الصحيح $n$ كمجموع من الأعداد الصحيحة الموجبة.

$p(n)\sim \frac{1}{4n\sqrt{3}}{e}^{\pi \sqrt{\frac{2n}{3}}}$

مراجع

• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد

وصلات خارجية

• Asymptotic Analysis  —home page of the journal, which is published by IOS Press
• A paper on time series analysis using asymptotic distribution