ارتفاع (مثلث)

ملف:Triangle.Orthocenter.svg

تتقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث عند المركز العمودي، الذي يكون داخل المثلث الحاد.

في الهندسة الرياضية، ارتفاع المثلث هو القطعة المستقيمة من رأس المثلث وعمودية على (أي تشكل زاوية قائمة مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس بالقاعدة الممتدة لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة والارتفاع اسم قدم الارتفاع. طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- «الارتفاع»، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم بإسقاط الارتفاع. إنها حالة خاصة من الإسقاط العمودي.

يمكن استخدام الارتفاعات في حساب مساحة المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة الدوال المثلثية.

في المثلث المتساوي الساقين (مثلث له ضلعان متطابقان)، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه في نقطة منتصف القاعدة. ثم إن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس.

ملف:Right angle altitude.svg

ارتفاع المثلث القائم من الزاوية القائمة إلى الوتر هو المتوسط الهندسي لطول جزئي الوتر. باستخدام مبرهنة فيثاغورس على المثلثات الثلاثة التي لها الأضلاع قالب:بدون لفو قالب:بدون لف وقالب:بدون لف, $\begin{array}{cc}(p+q{)}^2& =r^2+s^2\\ p^2+2pq+q^2& =\overbrace{p^2+h^2}+\overbrace{h^2+q^2}\\ 2pq& =2h^2\therefore h=\sqrt{pq}\\ \end{array}$

من الشائع إعطاء الارتفاع الرمز h (نسبةً إلى height)، وغالبًا ما يُلحق باسم الضلع العمودي عليه. في المثلث القائم الزاوية، الارتفاع المرسوم على الوتر c يقسم الوتر إلى جزأين p و q . إذا أشرنا إلى طول الارتفاع بـ h _c، فسنحصل على العلاقة

$h_c=\sqrt{pq}$ ( قالب:وإو )

ملف:Rtriangle.svg

في المثلث القائم، يتطابق الارتفاع من كل زاوية حادة مع ساق ويتقاطع مع الضلع المقابل عند (تكون قدمه عند) الرأس القائم، وهي المركز العمودي.

ملف:Orthocenter of obtuse triangle.svg

تقع الارتفاعات من كل زاوية من الزوايا الحادة لمثلث منفرج خارج المثلث تمامًا، والمركز العمودي أيضًا H.

في المثلثات الحادة، تقع أقدام الارتفاعات كلها على أضلاع المثلث (غير الممتدة). في المثلث المنفرج (الذي فيه زاوية منفرجة)، تقع قدم الارتفاع من الرأس المنفرجة الزاوية في الجزء الداخلي من الضلع المقابل، لكن قدمي الارتفاعين من الرأسين الحادين الزاوية تقعان على الضلعين الممتدين المقابلين؛ خارج المثلث. هذا موضح في الرسم البياني المجاور: في هذا المثلث المنفرج، يسقط ارتفاع من الرأس العلوي، ذي الزاوية الحادة، ويتقاطع مع الضلع الأفقي الممتد خارج المثلث.

قالب:وإو (نقطة تلاقي الارتفاعات)

تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة، تسمى المركز العمودي للمثلث، وعادةً ما يتم الإشارة إليها بـ قالب:Mvar. يقع المركز العمودي داخل المثلث فقط إذا كان المثلث حادًا (أي ليس له زاوية أكبر من الزاوية القائمة أو مساوية لها). إذا كانت إحدى الزوايا قائمة، فإن المركز العمودي يتطابق مع الرأس القائم.

لنفترض أن قالب:تعبير رياضي تشير إلى رؤوس وكذلك زوايا المثلث، وافترض أن أطوال الأضلاعقالب:تعبير رياضيفإن المركز العمودي له الإحداثيات الخطية الثلاثية

$\sec A:\sec B:\sec C=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,$

ملف:Triangle.Orthocenter.svg

ثلاثة ارتفاعات تتقاطع عند المركز العمودي

و الإحداثيات الكتلية$(a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2):(a^2+b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2):(a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)$

$=\tan A:\tan B:\tan C.$

نظرًا لأن جميع الإحداثيات الكتلية موجبة لنقطة في داخل مثلث، لكن إحداها، على الأقل، سالبة لنقطة خارجه، واثنان من الإحداثيات الكتلية يساويان صفر لنقطة الرأس، فإن الإحداثيات الكتلية المعطاة للمركز العمودي توضح أن المركز العمودي يقع داخل المثلث الحاد، وعلى الرأس القائم الزاوية لمثلث قائم الزاوية، وخارج المثلث المنفرج.

في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و قالب:Mvar تمثل الأرقام $z_A$ و $z_B$ و $z_C$، على التوالي، وافترض أن المركز المحيطي من المثلث قالب:Mvar يقع عند أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب

$z_H=z_A+z_B+z_C$

تمثله النقطة قالب:Mvar، أي المركز العمودي للمثلث قالب:Mvar. من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي قالب:Mvar عن طريق المتجهات الحرة مباشرةً:

$\overrightarrow{OH}=\sum _{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}}\overrightarrow{OA},2\cdot \overrightarrow{HO}=\sum _{\mathrm{c}\mathrm{y}\mathrm{c}\mathrm{l}\mathrm{i}\mathrm{c}}\overrightarrow{HA}.$

تُعرف أولى المتطابقات المتجهة السابقة، أيضًا، بمسألة سيلفستر، التي اقترحها جيمس جوزيف سيلفستر .

الخصائص

لنفترض أن D وE و قالب:تعبير رياضيتشير إلى أقدام الارتفاعات للرؤوس A وB و قالب:تعبير رياضيعلى التوالي. عندئذ:

• المركز العمودي يقسم الارتفاع لقطعتين جداؤهما ثابت لجميع الارتفاعات الثلاثة:

$AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.$

الدائرة المتمركزة عند قالب:Mvar و نصف قطرها الجذر التربيعي لهذا الثابت هي الدائرة القطبية للمثلث.

• مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن القاعدة إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 1: (هذه الخاصية والتالية لها، تطبيقان لخاصية أعم لأي نقطة داخلية وثلاثة قالب:وإو خلالها.)

$\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}=1.$

• مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن الرأس إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 2:

$\frac{AH}{AD}+\frac{BH}{BE}+\frac{CH}{CF}=2.$

• و المترافق متساوي الزوايا لـلمركز العمودي هو المركز المحيطي للمثلث.
• و المترافق الأيزوماتيكي للمركز العمودي هو نقطة المستوسط للمثلث المضاد-التتمة .
• إذا كانت أربع نقاط في مستوى، بحيث تكون إحداهم المركز العمودي للمثلث الذي تشكله الثلاثة الأخرى ات، تسمى (الأربع نقاط) نظام مركزي عمودي أو رباعي الزوايا المركزي العمودي.

العلاقة مع الدوائر والمخروطات

إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـقالب:تعبير رياضي. عندئذ

$a^2+b^2+c^2+A{H}^2+B{H}^2+C{H}^2=12R^2.$

وبالإضافة إلى ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضييرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث، قالب:تعبير رياضي

هي نصف قطر الدائرة المحيطة، والعلاقات التالية تظل صحيحة بالنسبة لبعد المركز العمودي عن الرؤوس:

$r_a+r_b+r_c+r=AH+BH+CH+2R,$

$r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=A{H}^2+B{H}^2+C{H}^2+(2R{)}^2.$

إذا مد أي ارتفاع، على سبيل المثال، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند قالب:تعبير رياضي، بحيث تكون قالب:تعبير رياضيوتر للدائرة المحيطة، فإن القدم قالب:تعبير رياضيتشطر الجزء قالب:تعبير رياضي:

$HD=DP.$

تمر أدلاء جميع القطوع المكافئة الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.

المخروطي المحيطي الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو قطعًا زائدًا مستطيلًا .

العلاقة بالمراكز الأخرى، دائرة النقاط التسع

المركز العمودي H، ومركز الكتلة قالب:تعبير رياضي، والمركز المحيطي قالب:تعبير رياضي، والمركز قالب:تعبير رياضي

لدائرة النقاط التسع يقعون على خط واحد، يُعرف بخط أويلر . يقع مركز دائرة النقاط التسع في منتصف خط أويلر، بين المركز العمودي والمركز المحيطي، والمسافة بين مركز الكتلة والمركز المحيطي هي نصف المسافة بين مركز الكتلة والمركز العمودي 

$OH=2NH,$

$2OG=GH.$

بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.

$HI<HG,$

$HG>IG.$

من حيث الأضلاع قالب:تعبير رياضي

نصف القطر الداخلي قالب:تعبير رياضيو نصف القطر المحيطي قالب:تعبير رياضي

$O{H}^2=R^2-8R^2\cos A\cos B\cos C=9R^2-(a^2+b^2+c^2),$قالب:صفحات مرجع

$H{I}^2=2r^2-4R^2\cos A\cos B\cos C.$

المثلث العمودي (مثلث الارتفاعات)

ملف:Altitudes and orthic triangle SVG.svg

المثلث قالب:تعبير رياضي (على التوالي ، قالب:Mvar في النص) هو المثلث العمودي للمثلث قالب:تعبير رياضي

إذا كان المثلث ABC مائلًا (لا يحتوي على زاوية قائمة) ، فإن مثلث المساقط الخاص بالمركز العمودي للمثلث الأصلي يسمى المثلث العمودي أو مثلث الارتفاعات. أي إن أقدام ارتفاعات المثلث المائل تشكل المثلث العمودي، قالب:Mvar . وأيضًا، فإن المركز الداخلي (مركز الدائرة المحاطة بالمثلث) للمثلث العمودي هو المركز العمودي للمثلث قالب:Mvar .

تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث العمودي بـ* قالب:تعبير رياضي* قالب:تعبير رياضي* قالب:تعبير رياضي

• الأضلاع الممتدة من المثلث العمودي تتقابل مع نظيرتها من المثلث المرجعي في ثلاث نقاط تقع على خط واحد .
• في أي مثلث حاد، المثلث المدرج بداخله ذو المحيط الأصغر هو المثلث العمودي. هذا هو الحل ل قالب:وإو التي طُرِحَت عام 1775.
• أضلاع المثلث العمودي متوازية مع مماسات الدائرة المحيطة عند رؤوس المثلث الأصلي.
• يعطي المثلث العمودي لمثلث حاد مثلث المرور الضوئي.
• الخطوط المماسية لدائرة النقاط التسع عند نقاط المنتصف لأضلاع المثلث قالب:Mvar، توازي أضلاع المثلث العمودي، وتشكل مثلثًا مشابهًا للمثلث العمودي.

يرتبط المثلث العمودي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث المماسي، المنشئ على النحو التالي: افترض أن قالب:تعبير رياضيمماس للدائرة المحيطة بالمثلث قالب:تعبير رياضيعند الرأس قالب:تعبير رياضي، وبالمثل قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضي. افترض أن قالب:تعبير رياضي، قالب:تعبير رياضي، قالب:تعبير رياضي. المثلث المماسي قالب:تعبير رياضيالذي أضلاعه مماسات للدائرة المحيطة بالمثلث "قالب:Mvar عند رؤوسه، هو محاكي للمثلث العمودي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي ومركز التشابه للمثلثين العمودي والمماسي على خط أويلر . قالب:صفحات مرجع

تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث المماسي بواسطة* قالب:تعبير رياضي* قالب:تعبير رياضي* قالب:تعبير رياضي.

بعض مبرهنات الارتفاع الإضافية

الارتفاع من حيث الأضلاع

لأي مثلث أضلاعه قالب:تعبير رياضي ونصف محيطه قالب:تعبير رياضي ،يعطى ارتفاع قالب:تعبير رياضي

$h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}.$

هذا يتأتى من دمج صيغة هيرون لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع قالب:تعبير رياضي

والارتفاع هو الارتفاع من قالب:تعبير رياضي.

مبرهنات نصف القطر الداخلي

بالنسبة لأي مثلث له الأضلاع قالب:تعبير رياضيو الارتفاعات المقابلة قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضي. ترتبط الارتفاعات ونصف القطر الداخلي قالب:تعبير رياضيبـالعلاقة قالب:صفحات مرجع

$\frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}.$

مبرهنة نصف القطر المحيطي

إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ قالب:تعبير رياضي، والجانبان الآخران قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضي، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث) قالب:تعبير رياضي، يعطى الارتفاع بالعلاقة

$h_a=\frac{bc}{2R}.$

نقطة داخلية

إذا كانت قالب:تعبير رياضيو قالب:تعبير رياضيهي المسافات العمودية من أي نقطة قالب:تعبير رياضيإلى الأضلاع،$h_1$ و $h_2$و قالب:تعبير رياضيهي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا

$\frac{p_1}{h_1}+\frac{p_2}{h_2}+\frac{p_3}{h_3}=1.$

مبرهنة المساحة

إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع قالب:تعبير رياضي

قالب:تعبير رياضيعلى التوالي $h_a$ و $h_b$ ، و $h_c$ ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـ$H=(h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1})/2$ ، إذا

${\mathrm{A}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{a}}^{-1}=4\sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.$

نقطة عامة على ارتفاع

إذا كانت قالب:تعبير رياضيأي نقطة على الارتفاع قالب:تعبير رياضيلأي مثلث قالب:تعبير رياضي، إذًا قالب:صفحات مرجع

$A{C}^2+E{B}^2=A{B}^2+C{E}^2.$

مثلثات خاصة

المثلث المتساوي الأضلاع

لأي نقطة قالب:Mvar داخل مثلث متساوي الأضلاع، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي مبرهنة فيفياني .

المثلث القائم

في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc

ملف:Inverse pythagorean theorem.svg

مقارنة بين مبرهنة فيثاغورس المعكوسة ومبرهنة فيثاغورس

(أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين قالب:تعبير رياضي

و قالب:تعبير رياضيعلى التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة

$\frac{1}{h_a^2}+\frac{1}{h_b^2}=\frac{1}{h_c^2}.$

يُعرف هذا أيضًا باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.

تاريخ

تم إثبات المبرهنة القائلة بأن الارتفاعات الثلاثة للمثلث تلتقي في نقطة واحدة، المركز العمودي، أول مرة في ما نشر عام 1749 بواسطة قالب:وإو.

انظر أيضًا

• مركز المثلث
• المتوسط (هندسة)

اقرأ أيضاً

• مثلث
• متوسط المثلث
• مبرهنة فيثاغورس
• نقاط هامة للمثلث
• قوانين مساحة المثلث