ثبات المجال

بيرتوس براور صاحب النظرية

ثبات المجال، هو عبارة عن نظرية في الطوبولوجيا حول المجموعات الجزئية المتطابقة من الفضاء الإقليدي ${ℝ}^n$. وينص على:

إذا كانت $U$ مجموعة فرعية مفتوحة من ${ℝ}^n$ وكانت $f:U\to {ℝ}^n$ خريطة دالة مستمرة متباينة، إذن $V:=f(U)$ تكون مفتوحة في ${ℝ}^n$، و $f$ هي تماثل بين $U$ و $V$.

يرجع الفضل في النظرية وبرهانها إلى لويتسن براور، والتي نُشرت في عام 1912. والبرهان يستخدم أدوات الطوبولوجيا الجبرية، ولا سيما نظرية النقطة الثابتة لبراور.

ملحوظات

من الممكن صياغة استنتاج النظرية بشكل مكافئ على النحو التالي: $f$ " عبارة عن خريطة مفتوحة ".

وعادة، من أجل التحقق من أن $f$ عبارة عن تماثل شكلي، يجب على المرء أن يتحقق من أن كل من $f$، ودالتها العكسية $f^{-1}$ متصلة ومستمرة؛ تنص النظرية على أنه: إذا كان المجال عبارة عن مجموعة فرعية مفتوحة من${ℝ}^n$، والصورة موجودة أيضا في ${ℝ}^n$، إذن استمرارية $f^{-1}$ هو أمر تلقائي. بالإضافة إلى ذلك، ترى النظرية أنه إذا كانت مجموعتان فرعيتان $U$ و $V$ من${ℝ}^n$ متماثلتان في الشكل، و $U$ مفتوحة ؛ إذن $V$ يجب أن تكون مفتوحة أيضًا. (لاحظ أن $V$ مفتوحة كمجموعة فرعية من ${ℝ}^n$ وليس فقط في طوبولوجيا الفضاء الفرعي. وانفتاح $V$ في طوبولوجيا الفضاء الفرعي هو أمر تلقائي) كلا العبارتين ليس واضحًا على الإطلاق، ولا تكونان صحيحتين بشكل عام إذا تركنا الفضاء الإقليدي.

خريطة لا تمثل تماثلاً لصورتها: $g:(-1.1,1)\to {ℝ}^2$ مع $g(t)=(t^2-1,t^3-t).$

من الأهمية بمكان أن يكون كل من المجال والصورة $f$ توجد في الفضاء الإقليدي على نفس البعد. خذ على سبيل المثال الخريطة $f:(0,1)\to {ℝ}^2$، تم تعريفها بواسطة $f(t)=(t,0).$ هذه الخريطة متباينة ومتواصلة، والمجال عبارة عن مجموعة فرعية مفتوحة من $ℝ$، ولكن الصورة ليست مفتوحة في ${ℝ}^2.$.

مثال آخر أكثر قوة يتمثل في: الخريطة $g:(-1.1,1)\to {ℝ}^2$، والتي تم تعريفها بواسطة $g(t)=(t^2-1,t^3-t)$ ، لأن $g$ هنا متباينة ومستمرة، غير أنها لا تقدم حتى تماثلًا لصورتها.

والنظرية ليست صحيحة عمومًا في الأبعاد الانهائية. فعلى سبيل المثال، خذ في الاعتبار فضاء باناخ [[فضاء إل بي|قالب:Mvar]] ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ من كل المتتاليات الحقيقية المحدودة. يُعرِّف $f:{\ell }^{\mathrm{\infty }}\to {\ell }^{\mathrm{\infty }}$ كالتحول $f(x_1,x_2,\dots )=(0,x_1,x_2,\dots ).$، إذن $f$ تكون متباينة ومستمرة، والمجال مفتوح في ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$، إلا أن الصورة ليست كذلك.

عواقب

إحدى النتائج المهمة لنظرية ثبات المجال تتمثل في أن ${ℝ}^n$، لا يمكن أن تكون متماثلة مع ${ℝ}^m$ إذا كان $m\ne n$ في الواقع، وفي هذه الحالة لا توجد مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من ${ℝ}^n$ يمكن أن تكون متماثلة مع أي مجموعة فرعية مفتوحة من ${ℝ}^m$.

التعميمات

من الممكن تعميم نظرية ثبات المجال على فضاء متعدد الشعب: حيث $M$ و $N$ عبارة عن متشعبات طوبولوجية قالب:Mvar بدون حدود، و $f:M\to N$ هي خريطة مستمرة محليًا واحدًا لواحد (بمعنى أن كل نقطة في $M$ لديه جوار مثل هذا $f$ التي تقتصر على هذا الجوار تكون متباينة)، إذن $f$ هي خريطة مفتوحة (بمعنى أن $f(U)$ مفتوح في $N$، حينما تكون$U$ مجموعة فرعية مفتوحة من $M$ ) ومتماثلة محليًا .

وهناك أيضًا تعميمات لأنواع معينة من الخرائط المستمرة من فضاء باناخ إلى نفسه.

انظر ايضًا

• دالة متباينة.
• دالة مستمرة.
• فضاء باناخ.
• فضاء إقليدس.

المراجع

1. قالب:استشهاد بكتاب
2. قالب:استشهاد بدورية محكمة
3. قالب:استشهاد بدورية محكمة
4. قالب:استشهاد بكتاب
5. قالب:استشهاد بكتاب
6. قالب:استشهاد بكتاب (see p. 72–73 for Hirsch's proof utilizing non-existence of a differentiable retraction)
7. قالب:استشهاد بكتاب
8. قالب:استشهاد بكتاب
9. قالب:استشهاد بدورية محكمة
10. قالب:استشهاد بكتاب
11. قالب:استشهاد بكتاب
12. قالب:استشهاد بكتاب
13. قالب:استشهاد بويب