صيغة نصف فرجيب التمام

قالب:لا صندوق معلومات تُحَدِّد صيغة نصف فَرْجَيْب التمام أو صيغة نصف السهم أو صيغة نصف الجيب المعكوس قالب:إنج مسافة الدائرة العظمى بين نقطتين على الكرة المعطاة بخطوط الطول ودوائر العرض. مهمة في الملاحة، إنها حالة خاصة للصيغة الأكثر عمومية في حساب المثلثات الكروية، قانون نصف السهم، الذي يربط جوانب وزوايا المثلثات الكروية.

وقد نشر الجدول الأول لنصف السهم باللغة الإنجليزية من قبل جيمس أندرو في 1805، ولكن فلوريان كايوري ينسب استخدام سابق إلى جوسيف دي مندوزا إي ريوس في 1801. صاغ قالب:وصلة إنترويكي الاسم الإنجليزي "Haversine" في عام 1835.

هذه الأسماء تتبع من حقيقة أنها مكتوبة عادة بدلالة دالة نصف السهم، التي ادخلها قالب:تعبير رياضي. ويمكن أن تكون صيغ على قدم المساواة مكتوبة بدلالة أي مضاعف نصف السهم، مثل دالة السهم القديمة. قبل ظهور الحواسيب، كان إزالة القسمة والضرب بعوامل اثنين مناسبين بما فيه الكفاية بحيث تم وضع جداول قيم نصف السهم واللوغاريتمات في النصوص عن الملاحة وحساب المثلثات في القرن التاسع عشر وأوائل القرن العشرين. في هذه الأيام، يكون شكل نصف السهم مناسبًا أيضًا لأنه لا يحتوي على معامل أمام دالة مربع الجيب قالب:تعبير رياضي.

صياغة

لتكن الزاوية المركزية قالب:تعبير رياضي بين أي نقطتين على الكرة:

$\mathrm{\Theta }=\frac{d}{r}$

حيث:

• قالب:تعبير رياضي هو المسافة بين النقطتين على طول دائرة عظمى من الكرة
• قالب:تعبير رياضي هو نصف قطر الكرة

تسمح صيغة نصف السهم بحساب نصف سهم الزاوية قالب:تعبير رياضي (أي قالب:تعبير رياضي)) مباشرة من خط العرض وخط الطول للنقطتين:

$\mathrm{hav}\left(\mathrm{\Theta }\right)=\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+\cos \left({\phi }_1\right)\cos \left({\phi }_2\right)\mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)$

حيث

• قالب:تعبير رياضي، قالب:تعبير رياضي هما خط عرض النقطة 1 والنقطة 2 (بالراديان)،
• قالب:تعبير رياضي، قالب:تعبير رياضي هي خط الطول من النقطة 1 وخط طول من النقطة 2 (في راديان).

وأخيرا، فإن دالة نصف السهم قالب:تعبير رياضي، المطبقة أعلاه على كل من الزاوية المركزية قالب:تعبير رياضي والفروق في خط العرض وخط الطول، هي:

$\mathrm{hav}(\theta )={\sin }^2\left(\frac{\theta }{2}\right)=\frac{1-\cos (\theta )}{2}$

لحل المسافة d، نقوم بتطبيق دالة «قوس نصف السهم» (الدالة العكسية لنصف السهم) على قالب:تعبير رياضي أو استخدام دالة قوس الجيب (دالة عكسية للجيب):

$d=r\mathrm{archav}(h)=2r\arcsin \left(\sqrt{h}\right)$

أو بشكل أكثر وضوحًا:

$\begin{array}{cc}d& =2r\arcsin \left(\sqrt{\mathrm{hav}({\phi }_2-{\phi }_1)+(1-\mathrm{hav}({\phi }_1-{\phi }_2)-\mathrm{hav}({\phi }_1+{\phi }_2))\cdot \mathrm{hav}({\lambda }_2-{\lambda }_1)}\right)\\ & =2r\arcsin \left(\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}\right)+(1-{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2+{\phi }_1}{2}\right))\cdot {\sin }^2\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{2}\right)}\right)\\ & =2r\arcsin \left(\sqrt{{\sin }^2\left(\frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2}\right)+\cos {\phi }_1\cdot \cos {\phi }_2\cdot {\sin }^2\left(\frac{{\lambda }_2-{\lambda }_1}{2}\right)}\right).\end{array}$

عند استخدام هذه الصيغ، يجب على المرء التأكد من أن قالب:تعبير رياضي لا يتجاوز 1 بسبب خطأ الفاصلة المتحركة (قالب:تعبير رياضي هو عدد حقيقي وحيد من أجل قالب:تعبير رياضي). قالب:تعبير رياضي يقترب فقط من 1 للنقاط المتقابلة قطريًا (على جوانب المتقابلة للكرة) -- في هذه المنطقة، تؤول الأخطاء العددية الكبيرة نسبيًا إلى الظهور في الصيغة عند استخدام المحدودة. (تُكتب الصيغة أعلاه أحيانًا بدلالة دالة قوس الظل، ولكن هذا يعاني من مشاكل رقمية مماثلة بالقرب من قالب:تعبير رياضي.)

كما هو موضح أدناه، يمكن كتابة صيغة مماثلة باستخدام جيب التمام (يسمى أحيانا قانون جيب للتمام الكروي، لا ينبغي الخلط بينه وبين قانون جيب التمام للهندسة المستوية) بدلا من نصف السهم، ولكن إذا كانت النقطتان متقاربتان (على سبيل المثال كيلومتر واحد، على الأرض) قد ينتهي بك الأمر مع قالب:تعبير رياضي، مما يؤدي إلى إجابة غير دقيقة. بما أن صيغة نصف السهم يستخدم الجيوب، فإنه يتجنب تلك المشكلة.

أي من الصيغتين هو فقط تقريب عند تطبيقه على الأرض، وهي ليست كرة مثالية: يتراوح «نصف قطر الأرض» قالب:تعبير رياضي من 6356.752 كم عند القطبين إلى 6378.137 كم عند خط الاستواء. والأهم من ذلك، أن نصف قطر انحناء خط شمال-جنوب على سطح الأرض أكبر بنسبة 1% عند القطبين (تساوي تقريبًا 6399.594 كم) منه عند خط الاستواء (تساوي تقريبًا 6335.439 كم) -- وبالتالي لا يمكن ضمان صحة صيغة نصف السهم وقانون جيب التمام إلى أفضل من 0.5%.قالب:بحاجة لمصدر تعطى طرق أكثر دقة التي تراعي تفلطح الأرض من خلال قالب:وإو والصيغ الأخرى.

قانون نصف السهم

مثلث كروي حله قانون نصف السهم.

باعتبار كرة الوحدة (كرة نصف قطرها 1)، تعرَّف «المثلث» على سطح الكرة بواسطة الدوائر العظمى التي تربط ثلاث نقاط قالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي على الكرة. إذا كانت أطوال هذه الأضلاع الثلاثة هي قالب:تعبير رياضي (من قالب:تعبير رياضي إلى قالب:تعبير رياضي)، و قالب:تعبير رياضي (من قالب:تعبير رياضي إلى قالب:تعبير رياضي)، و قالب:تعبير رياضي (من قالب:تعبير رياضي إلى قالب:تعبير رياضي)، والزاوية المقابلة لـ قالب:تعبير رياضي هي قالب:تعبير رياضي، فإن قانون نصف السهم ينص على ما يلي:

$\mathrm{hav}(c)=\mathrm{hav}(a-b)+\sin (a)\sin (b)\mathrm{hav}(C).$

بما أن الكرة عبارة عن كرة الوحدة، فإن الأطوال قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي تساوي ببساطة الزوايا (بالتقدير الدائري) التي تقابلها تلك الجوانب من مركز الكرة (بالنسبة إلى كرة غير الوحدة، يكون كل من تلك أطوال الأقواس مساويًا لزاويتها المركزية مضروبًا في نصف القطر قالب:تعبير رياضي للكرة).

من أجل الحصول على صيغة نصف السهم للقسم السابق من هذا القانون، نعتبر ببساطة الحالة الخاصة حيث u هو القطب الشمالي، بينما قالب:تعبير رياضي و قالب:تعبير رياضي هما النقطتان اللتان ستحدَّد فصلهما قالب:تعبير رياضي. في هذه الحالة، قالب:تعبير رياضي وقالب:تعبير رياضي هن قالب:تعبير رياضي (أي، تمام العرض)، وقالب:تعبير رياضي هو فصل خط الطول قالب:تعبير رياضي، وقالب:تعبير رياضي هو قالب:تعبير رياضي المطلوب. مشيرا إلى أن قالب:تعبير رياضي، يتبع صيغة نصف السهم على الفور.

لاشتقاق قانون نصف السهم، نبدأ مع قانون جيب التمام الكروي:

$\cos (c)=\cos (a)\cos (b)+\sin (a)\sin (b)\cos (C).$

كما ذكرنا أعلاه، فإن هذه الصيغة هي طريقة غير مشروطة لحل قالب:تعبير رياضي عندما تكون قالب:تعبير رياضي صغيرة. بدلاً من ذلك، نعوض المتطابقة قالب:تعبير رياضي، ونستخدم أيضاً متطابقة الفرق قالب:تعبير رياضي، للحصول على قانون نصف السهم المذكور الأعلاه.

انظر أيضًا

• مسافة دائرة عظمى

قراءة متعمقة

• U. S. Census Bureau Geographic Information Systems FAQ, (content has been moved to What is the best way to calculate the distance between 2 points?)
• R. W. Sinnott, "Virtues of the Haversine", Sky and Telescope 68 (2), 159 (1984).
• Deriving the haversine formula, Ask Dr. Math (Apr. 20–21, 1999).
• Romuald Ireneus 'Scibor-Marchocki, Spherical trigonometry, Elementary-Geometry Trigonometry web page (1997).
• W. Gellert, S. Gottwald, M. Hellwich, H. Kästner, and H. Küstner, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, 2nd ed., ch. 12 (Van Nostrand Reinhold: New York, 1989).

روابط خارجية

• Implementations of the haversine formula in 91 languages at rosettacode.org and in 17 languages on codecodex.com
• Other implementations in C++, C (MacOS), Pascal, Python, Ruby, JavaScript, PHP,Matlab, MySQL