عرض مصدر متباينة برنولي

{{يتيمة|تاريخ=أبريل 2018}}
[[ملف:Bernoulli inequality.svg|يسار|تصغير|رسم توضيحي لمتباينة برنولي، مع الرسوم البيانية لـ <math>y=(1 + x)^r</math> و <math>y=1 + rx</math> معروضة باللونين الأحمر والأزرق على التوالي. هنا، <math>r=3</math>.]]

في [[تحليل حقيقي|التحليل الحقيقي]]، '''متراجحة برنولي''' المسماة هكذا نسبة إلى [[ياكوب برنولي|ياكوب بيرنولي]]، هي [[متباينة (جبر)|متراجحة]] تمكن من الاقتراب من [[رفع (رياضيات)|دالة الأس]] ل<math>1+x</math>.<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html | عنوان = معلومات عن متباينة برنولي على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191109210647/http://mathworld.wolfram.com/BernoulliInequality.html | تاريخ أرشيف = 9 نوفمبر 2019 }}</ref>

تنص المتراجحة على أن

<math>(1+x)^r\geq1+rx</math>

لكل عدد صحيح <math>r\geq0</math> و لكل عدد حقيقي <math>x\geq-1</math>.

== برهان المتراجحة ==
ليكن <math>x</math> من <math>\mathbb{R}^+</math>. لنبين بالترجع على <math>n</math> أن: <math>(1+x)^n\geq1+nx</math>

الخاصية صحيحة من أجل <math>n=0</math> لأن:

<math>(1+x)^0\geq1+0x</math>

تكافئ <math>1 \ge 1</math>.

نفترض أن الخاصية صحيحة من أجل <math>n</math> من <math>N</math>.إذن:

<math>(1+x)(1+x)^n\geq(1+x)(1+nx)</math> (لأن <math>(1+x)\geq0</math>)

<math>(1+x)^{n+1}\geq1+nx+x+nx^2\Longleftarrow</math>

<math>.(1+x)^{n+1}\geq1+(n+1)x+nx^2\Longleftarrow</math>

<math>(1+x)^{n+1}\geq1+(n+1)x\Longleftarrow</math>

إذن الخاصية صحيحة من أجل <math>n+1</math>، و منه النتيجة.

== مراجع ==
{{مراجع}}


* {{استشهاد بكتاب|الأخير1=Carothers|الأول1=N.L.|عنوان=Real analysis|مسار=https://archive.org/details/realanalysis00caro_315|سنة=2000|ناشر=Cambridge University Press|مكان=Cambridge|isbn=978-0-521-49756-5|صفحة=[https://archive.org/details/realanalysis00caro_315/page/n19 9]}}
* {{استشهاد بكتاب|الأخير1=Bullen|الأول1=P. S.|عنوان=Handbook of means and their inequalities|مسار=https://archive.org/details/handbookmeansthe00bull|سنة=2003|ناشر=Kluwer Academic Publ.|مكان=Dordercht [u.a.]|isbn=978-1-4020-1522-9|صفحة=[https://archive.org/details/handbookmeansthe00bull/page/n26 4]}}
* {{استشهاد بكتاب|الأخير1=Zaidman|الأول1=S.|عنوان=Advanced calculus : an introduction to mathematical analysis|مسار=https://archive.org/details/advancedcalculus00zaid|سنة=1997|ناشر=World Scientific|مكان=River Edge, NJ|isbn=978-981-02-2704-3|صفحة=[https://archive.org/details/advancedcalculus00zaid/page/n38 32]}}

== وصلات خارجية ==
* {{ماثوورلد|title=Bernoulli Inequality|urlname=BernoulliInequality}}

* [http://demonstrations.wolfram.com/BernoulliInequality/ Bernoulli Inequality] by Chris Boucher, [[Wolfram Demonstrations Project]].
* {{استشهاد ويب|عنوان=Introduction to Inequalities|مسار= http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu|مؤلف=Arthur Lohwater|سنة=1982|ناشر=Online e-book in PDF format|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20121014135812/http://www.mediafire.com/?1mw1tkgozzu|تاريخ أرشيف=2012-10-14}}
* [[doi:10.4236/am.2013.47146|Paper “Some Equivalent Forms of Bernoulli’s Inequality: A Survey“]]
{{شريط بوابات|تحليل رياضي}}

{{تصنيف كومنز|Bernoulli inequality}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:متباينات]]