عرض مصدر مبرهنة ستوكس

{{أيضا|مبرهنة ستوكس المعممة}}
{{بطاقة عامة|صورة=Stokes'_Theorem.svg|تعليق الصورة=رسم توضيحي لمبرهنة ستوكس، مع السطح {{تعبير رياضي|Σ}}, وحدوده {{تعبير رياضي|∂Σ}} والمتجه الناظمي {{mvar|n}}.}}
'''مبرهنة ستوكس'''،<ref group="ملاحظة">بالإنجليزية: Stokes' theorem</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=Stewart|الأول=James|مسار=https://archive.org/details/calculusearlytra0000stew|عنوان=Calculus - Early Transcendentals|ناشر=Brooks/Cole Cengage Learning|سنة=2012|طبعة=7th|مكان=|صفحات=[https://archive.org/details/calculusearlytra0000stew/page/1122 1122]|لغة=en|isbn=978-0-538-49790-9}}</ref> معروفة أيضًا باسم '''مبرهنة كلفن-ستوكس'''،<ref name="iwahori2">[[Nagayoshi Iwahori]], et al.:"Bi-Bun-Seki-Bun-Gaku" [[:ja:裳華房|Sho-Ka-Bou]](jp) 1983/12 {{ردمك|978-4-7853-1039-4}} [http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1039-4.htm](باليابانية) {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20200718020241/http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN978-4-7853-1039-4.htm|date=2020-07-18}}</ref><ref name="fujimno2">Atsuo Fujimoto;"Vector-Kai-Seki Gendai su-gaku rekucha zu. C(1)" [[:ja:培風館|Bai-Fu-Kan]](jp)(1979/01) {{ردمك|978-4563004415}} (باليابانية)</ref> تيمنًا بعالِمَي الرياضيات [[لورد كلفن]] [[جورج جابرييل ستوكس|وجورج ستوكس]]، أو '''المبرهنة الأساسية للدوران'''<ref group="ملاحظة">بالإنجليزية: Fundamental theorem for curls</ref> أو ببساطة '''مبرهنة الدوران'''،<ref group="ملاحظة">بالإنجليزية: Curl theorem</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير=Griffiths|الأول=David|عنوان=Introduction to Electrodynamics|ناشر=Pearson|سنة=2013|مكان=|صفحات=34|لغة=en|isbn=978-0-321-85656-2}}</ref> هي مبرهنة في [[حساب المتجهات]] على <math>\mathbb{R}^3</math>. بالنظر إلى [[حقل متجهات|حقل متجهي]]، تربط المبرهنة [[تكامل]] [[دوران (متجهات)|دوران]] الحقل المتجهي على بعض السطح، [[تكامل خط|بالتكامل الخطي]] للحقل المتجهي حول حدود السطح.

إذا كان الحقل المتجهي <math>\mathbf{A} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))</math> معرفة في منطقة ذات سطح أملس موجه <math>\Sigma</math> وله [[مشتق جزئي|مشتقات جزئية]] مستمرة من المرتبة الأولى، فإن:

:<math>\begin{align}
\iint\limits_\Sigma (\nabla \times \mathbf{A}) \cdot d\mathbf{a} & = \iint\limits_\Sigma \Bigg(\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right)\,dy\,dz +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\,dz\,dx  +\left (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dx\,dy\Bigg) \\
& = \oint\limits_{\partial\Sigma} \Big(P\,dx+Q\,dy+R\,dz\Big) = \oint\limits_{\partial\Sigma} \mathbf{A} \cdot d\mathbf{l},
\end{align}</math>
{{تفاضل وتكامل}}
حيث <math>\partial \Sigma</math> هي حدود المنطقة ذات سطح أملس <math>\Sigma</math>.

يمكن ذكر مبرهنة ستوكس الكلاسيكية المذكورة أعلاه في جملة واحدة: التكامل الخطي لحقل متجه على عُرْوة (Loop) يساوي [[تدفق (رياضيات وفيزياء)|تدفق]] دورانه عبر السطح المغلق.

مبرهنة ستوكس هي حالة خاصة لمبرهنة ستوكس المعممة.<ref name="DTPO">{{استشهاد بكتاب|الأول=Lawrence|الأخير=Conlon|عنوان=Differentiable Manifolds|سلسلة=Modern Birkhauser Classics|ناشر=Birkhaeuser|مكان=Boston|سنة=2008|مسار={{كتب جوجل |plainurl=yes |id=r2K31Pz5EGcC |page=194 }}}}</ref><ref name="lee">{{استشهاد بكتاب|الأول=John M.|الأخير=Lee|عنوان=Introduction to Smooth Manifolds|سلسلة=Graduate Texts in Mathematics|المجلد=218|ناشر=Springer|سنة=2002|مسار={{كتب جوجل |plainurl=yes |id=xygVcKGPsNwC |page=421 }}}}</ref> على وجه الخصوص، يمكن اعتبار حقل المتجه على <math>\mathbb{R}^3</math> [[شكل تفاضلي|أحادي الصورة]] وفي هذه الحالة يكون دورانه هو مشتقه الخارجي، ثنائي الصورة.

== هوامش ==
{{روابط شقيقة|commons=Stokes' theorem}}
{{مراجع|group=ملاحظة}}
{{تحديد}}

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{ضبط استنادي}}
{{شريط بوابات|الفيزياء|تحليل رياضي|رياضيات|هندسة رياضية}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:حساب المتجهات]]
[[تصنيف:مبرهنات في حساب التفاضل والتكامل]]
[[تصنيف:متجهات]]
[[تصنيف:ميكانيكا]]