مبرهنة ستوكس

قالب:أيضا قالب:بطاقة عامة مبرهنة ستوكس، معروفة أيضًا باسم مبرهنة كلفن-ستوكس، تيمنًا بعالِمَي الرياضيات لورد كلفن وجورج ستوكس، أو المبرهنة الأساسية للدوران أو ببساطة مبرهنة الدوران، هي مبرهنة في حساب المتجهات على ${ℝ}^3$. بالنظر إلى حقل متجهي، تربط المبرهنة تكامل دوران الحقل المتجهي على بعض السطح، بالتكامل الخطي للحقل المتجهي حول حدود السطح.

إذا كان الحقل المتجهي $𝐀=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$ معرفة في منطقة ذات سطح أملس موجه $\mathrm{\Sigma }$ وله مشتقات جزئية مستمرة من المرتبة الأولى، فإن:

$\begin{array}{cc}\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }(\mathrm{\nabla }\times 𝐀)\cdot d𝐚& =\underset{\mathrm{\Sigma }}{\iint }((\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz+(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x})dzdx+(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy)\\ & =\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }(Pdx+Qdy+Rdz)=\underset{\partial \mathrm{\Sigma }}{\oint }𝐀\cdot d𝐥,\end{array}$

قالب:تفاضل وتكامل حيث $\partial \mathrm{\Sigma }$ هي حدود المنطقة ذات سطح أملس $\mathrm{\Sigma }$.

يمكن ذكر مبرهنة ستوكس الكلاسيكية المذكورة أعلاه في جملة واحدة: التكامل الخطي لحقل متجه على عُرْوة (Loop) يساوي تدفق دورانه عبر السطح المغلق.

مبرهنة ستوكس هي حالة خاصة لمبرهنة ستوكس المعممة. على وجه الخصوص، يمكن اعتبار حقل المتجه على ${ℝ}^3$ أحادي الصورة وفي هذه الحالة يكون دورانه هو مشتقه الخارجي، ثنائي الصورة.