عرض مصدر قيم خاصة لدالة زيتا لريمان

{{لا مصدر|تاريخ=يناير 2022}}
{{يتيمة|تاريخ=مايو 2021}}
في [[رياضيات|الرياضيات]]، [[دالة زيتا لريمان]] هي دالة في [[تحليل عقدي للدارات الكهربائية|التحليل العقدي]]، مهمة أيضا في [[نظرية الأعداد]]. عادة ما يرمز إليها بالرمز {{math|''&zeta;''(''s'')}}. سُميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني [[برنارد ريمان]]. عندما يكون المدخل s [[عدد حقيقي|عددا حقيقيا]] أكبر قطعا من الواحد، تحقق دالة زيتا لريمان المعادلة التالية:

<math display="block">\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s} \, .</math>

==دالة زيتا لريمان عند الصفر وعند الواحد==
عند [[قطب (تحليل عقدي)|الصفر]]، يتوفر ما يلي
<math display="block">\zeta(0)= {B^-_1}=-{B^+_1}=-\tfrac{1}{2}\!</math>

عند الواحد تملك الدالة زيتا [[قطب (تحليل عقدي)|قُطبا]]. إذن، ''ζ''(1) هو عدد غير منته ولكن النهايتان من جهتي اليمين واليسار تساويان ما يلي:
<math display="block">\lim_{\varepsilon\to 0^\pm}\zeta(1+\varepsilon) = \pm\infty</math>
بما أن الواحد قطب من الدرجة الأولى، فإن له [[باق (تحليل عقدي)|باقيا عقديا]]
<math display="block">\lim_{\varepsilon\to 0} \varepsilon \zeta(1+\varepsilon) = 1\,.</math>

== الأعداد الصحيحة الموجبة ==
=== الأعداد الصحيحة الموجبة الزوجية ===
انظر إلى [[عدد برنولي]].

<math display="block">\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{(2\pi)^{2n}B_{2n}}{2(2n)!} \!</math>

=== الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية ===
[[متسلسلة متناسقة (رياضيات)|المتسلسلة المتناسقة]] تتباعد كما يظهر في المعادلة التالية :
<math = display="block">\zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots = \infty\!</math>

تُعرف {{math|''ζ''(3)}} باسم [[ثابتة أبيري]]. تظهر هذه الثابتة في [[قانون بلانك]].

{| class="wikitable"
|+ بعضٌ من قيم دالة زيتا لريمان مطبقةً على أعداد طبيعية فردية
|-
! scope="col" | القيمة
! scope="col" | الكتابة العشرية
! scope="col" | المصدر
|-
| <math>\zeta(3)</math>
| {{val|1.2020569031595942853}}...
| {{OEIS2C|A02117}}
|-
| <math>\zeta(5)</math>
| {{val|1.0369277551433699263}}...
| {{OEIS2C|A013663}}
|-
| <math>\zeta(7)</math>
| {{val|1.0083492773819228268}}...
| {{OEIS2C|A013665}}
|-
| <math>\zeta(9)</math>
| {{val|1.0020083928260822144}}...
| {{OEIS2C|A013667}}
|-
| <math>\zeta(11)</math>
| {{val|1.0004941886041194645}}...
| {{OEIS2C|A013669}}
|-
| <math>\zeta(13)</math>
| {{val|1.0001227133475784891}}...
| {{OEIS2C|A013671}}
|-
| <math>\zeta(15)</math>
| {{val|1.0000305882363070204}}...
| {{OEIS2C|A013673}}
|}

يُعلم من خلال [[مبرهنة أبيري]] أن ثابتة أبيري هي عدد غير جذري.

== مراجع ==
{{مراجع}}

{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات|نظرية الأعداد}}

{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:أعداد لا كسرية]]
[[تصنيف:ثوابت رياضية]]
[[تصنيف:زيتا والدوال اللامية]]