قيم خاصة لدالة زيتا لريمان

قالب:لا مصدر قالب:يتيمة في الرياضيات، دالة زيتا لريمان هي دالة في التحليل العقدي، مهمة أيضا في نظرية الأعداد. عادة ما يرمز إليها بالرمز قالب:Math. سُميت هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات الألماني برنارد ريمان. عندما يكون المدخل s عددا حقيقيا أكبر قطعا من الواحد، تحقق دالة زيتا لريمان المعادلة التالية:

$$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}.$$

دالة زيتا لريمان عند الصفر وعند الواحد

عند الصفر، يتوفر ما يلي $$\zeta (0)=B_1^{-}=-B_1^{+}=-\frac{1}{2}$$

عند الواحد تملك الدالة زيتا قُطبا. إذن، ζ(1) هو عدد غير منته ولكن النهايتان من جهتي اليمين واليسار تساويان ما يلي: $$\underset{\epsilon \to 0^{\pm }}{\lim }\zeta (1+\epsilon )=\pm \mathrm{\infty }$$ بما أن الواحد قطب من الدرجة الأولى، فإن له باقيا عقديا $$\underset{\epsilon \to 0}{\lim }\epsilon \zeta (1+\epsilon )=1.$$

الأعداد الصحيحة الموجبة

الأعداد الصحيحة الموجبة الزوجية

انظر إلى عدد برنولي.

$$\zeta (2n)=(-1{)}^{n+1}\frac{(2\pi {)}^{2n}{B}_{2n}}{2(2n)!}$$

الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية

المتسلسلة المتناسقة تتباعد كما يظهر في المعادلة التالية : $$\zeta (1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots =\mathrm{\infty }$$

تُعرف قالب:Math باسم ثابتة أبيري. تظهر هذه الثابتة في قانون بلانك.

بعضٌ من قيم دالة زيتا لريمان مطبقةً على أعداد طبيعية فردية

القيمة	الكتابة العشرية	المصدر
$\zeta (3)$	قالب:Val...	قالب:OEIS2C
$\zeta (5)$	قالب:Val...	قالب:OEIS2C
$\zeta (7)$	قالب:Val...	قالب:OEIS2C
$\zeta (9)$	قالب:Val...	قالب:OEIS2C
$\zeta (11)$	قالب:Val...	قالب:OEIS2C
$\zeta (13)$	قالب:Val...	قالب:OEIS2C
$\zeta (15)$	قالب:Val...	قالب:OEIS2C

يُعلم من خلال مبرهنة أبيري أن ثابتة أبيري هي عدد غير جذري.