عرض مصدر قائمة مجسمات جونسون

{{يتيمة|تاريخ =نوفمبر 2024}}
في الهندسة، تُعَرّف [[المجسمات]] بأنها أجسام ثلاثية الأبعاد حيث تتصل النقاط بواسطة خطوط لتشكيل [[مضلع|المضلعات]]. تُعْرَف النقاط والخطوط والمضلعات في المجسم باسم [[رأس (هندسة)|الرؤوس]] و[[حافة (هندسة)|الحواف]] و[[وجه (هندسة)|الوجوه]]، على التوالي.{{sfnp|Meyer|2006|p=[https://books.google.com/books?id=ez6H5Ho6E3cC&pg=PA418 418]}} يُعتبر المجسم ''[[مجسم محدب|محدبًا]]'' إذا:<ref>{{multiref
|{{harvp|Litchenberg|1988}}
|{{harvp|Boissonnat|Yvinec|1989}}
}}</ref>
* كانت أقصر مسافة بين أي نقطتين من رؤوسه تقع إما داخل [[الداخل (طوبولوجيا)|داخله]] أو على [[الحدود (طوبولوجيا)|حدوده]].
* لا تتشارك أي من وجوهه في نفس المستوى—لا تتواجد في نفس المستوى ولا "تكون مسطحة".
* لا تكون أي من حوافه [[متساوية في خط مستقيم]]—ليست أجزاءً من نفس الخط.

يُعرف المجسم المحدب الذي تكون وجوهه [[مضلع منتظم|مضلعات منتظمة]] باسم ''[[مجسم جونسون]]''، أو أحيانًا باسم ''مجسم جونسون-زالجالر''. يستبعد بعض المؤلفين [[مجسمات موحدة|المجسمات الموحدة]] من التعريف. المجسم الموحد هو مجسم تكون وجوهه منتظمة وهي [[شكل متساوي الوجه|متساوية الوجه]]؛ تشمل الأمثلة [[مجسمات بلاتونية|المجسمات البلاتونية]] و[[مجسمات أرخيميدس|المجسمات الأرخيميدسية]] بالإضافة إلى [[مكعب (هندسة)|المكعبات]] و[[مضلع مضاد (هندسة)|المضلع المضاد]].<ref>{{multiref
|{{harvp|Diudea|2018|p=[https://books.google.com/books?id=p_06DwAAQBAJ&pg=PA39 39]}}
|{{harvp|Todesco|2020|p=[https://books.google.com/books?id=wtIBEAAAQBAJ&pg=PA282 282]}}
|{{harvp|Williams|Monteleone|2021|p=[https://books.google.com/books?id=w5RBEAAAQBAJ&pg=PA23 23]}}
}}</ref>

تُسمى مجسمات جونسون بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي [[نورمان جونسون (عالم رياضيات)|نورمان جونسون]] (1930–2017)، الذي نشر قائمة تضم 92 من هذه المجسمات في عام 1966، حيث افترض بأن القائمة كاملة وأنه لا توجد أمثلة أخرى. وقد أثبتت صحتها بواسطة عالم الرياضيات الروسي-الإسرائيلي [[فيكتور زالجالر]] (1920–2020) في عام 1969.<ref>{{multiref
|{{harvp|Johnson|1966}}
|{{harvp|Zalgaller|1969}}
}}</ref>

يمكن تصنيف بعض مجسمات جونسون [[مجسمات أساسية|كمجسمات أساسية]]، مما يعني أنه لا يمكن فصلها بواسطة مستوى لإنشاء مجسمين صغيرين محدبين بوجوه منتظمة. المجسمات التي تلبي هذه المعايير هي الستة الأولى—[[هرم مربع متساوي الأضلاع]]، [[هرم خماسي الشكل]]، [[كوبولا مثلثية]]، [[كوبولا مربعة]]، [[كوبولا خماسية الشكل]]، و[[روتندا خماسية الشكل]]. كما يلبي هذه المعايير أحد عشر مجسمًا آخر من مجسمات جونسون، وهي على وجه التحديد على وجه التحديد، ، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص،
ديسفينويد أزز، مضاد للمربعات الأزدراء، الوتدي الإكليلي، تضخم الوتدي، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم، بيلونبيروتوندا، وهيبيسفينوروتوندا الثلاثي.

[[tridiminished icosahedron|المجسمات العشرونية المتناقصة]]، [[parabidiminished rhombicosidodecahedron|المعينات المتوازية المتناقصة]]، [[tridiminished rhombicosidodecahedron|المجسمات المعينية ثلاثية التناقص]]، [[snub disphenoid|مجسم ديسفينويد متماثل]]، [[snub square antiprism|مجسم مربع مضاد متماثل]]، [[sphenocorona|مجسم تاجي إكليلي]]، [[sphenomegacorona|مجسم تاجي متضخم]]، [[hebesphenomegacorona|هيبيسفينوميجا كورونا]]، [[disphenocingulum|ديسفينوسينجولوم]] [[bilunabirotunda|بيلونبيروتوندا]]، و[[triangular hebesphenorotunda|وهيبيسفينوروتوندا الثلاثي]].<ref>{{multiref
|{{harvp|Cromwell|1997|p=[https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/87/mode/1up 86–87]|loc=See the figure on p.[https://archive.org/details/polyhedra0000crom/page/89/mode/1up 89]}}
|{{harvp|Johnson|1966}}
}}</ref> بقية مجسمات جونسون ليست أساسية، ويتم بناؤها باستخدام أول ستة مجسمات جونسون مع المجسمات البلانية والأرخيميدسية بعمليات مختلفة. تتضمن [[زيادة (هندسة)|الزيادة]] ربط مجسمات جونسون بوجه واحد أو أكثر من المجسمات، بينما تتضمن [[إطالة (هندسة)|الإطالة]] أو [[الإطالة الدورانية]] ربطها بأسس مكعب أو مضلع مضاد، على التوالي. يتم بناء بعض المجسمات الأخرى عن طريق [[تقليل (هندسة)|التقليل]]، وهو إزالة أحد أول ستة مجسمات من واحد أو أكثر من وجوه المجسم.<ref>{{multiref
|{{harvp|Rajwade|2001|p=[https://books.google.com/books?id=afJdDwAAQBAJ&pg=PA84 84–88]}}
|{{harvp|Slobodan|Obradović|Ðukanović|2015}}
|{{harvp|Berman|1971|p=350}}
}}</ref>

يحتوي الجدول التالي على 92 من مجسمات جونسون، مع طول حافة <math> a </math>. يتضمن الجدول ترقيم المجسم (المشار إليه بـ <math> J_n </math>).{{sfnp|Uehara|2020|p=[https://books.google.com/books?id=51juDwAAQBAJ&pg=PA62 62]}} كما يتضمن عدد الرؤوس والحواف والوجوه لكل مجسم، بالإضافة إلى [[مجموعة تناظرية للمجسمات الكروية|مجموعة التناظر]]، ومساحة السطح <math> A </math>، والحجم <math> V </math>. لكل مجسم خصائصه الخاصة بما في ذلك [[تناظر (هندسة)|التناظر]] والقياس. يُقال إن كائنًا ما له تناظر إذا كان هناك [[تحويل (هندسة)|تحويل]] يطابقه بنفسه. يمكن تجميع جميع تلك التحويلات في [[مجموعة (رياضيات)|مجموعة]]، جنبًا إلى جنب مع عدد عناصر المجموعة، المعروف باسم [[ترتيب المجموعة]]. في الفضاء ثنائي الأبعاد، تشمل هذه التحويلات [[تناظر دوراني|الدوران حول مركز المضلع]] و[[تناظر انعكاسي|انعكاس كائن حول]] الخط العمودي للمضلع. يُشار إلى المضلع الذي يتم تدويره بشكل متناظر بمقدار <math display="inline"> \frac{360^\circ}{n} </math> بـ <math> C_n </math>، وهو [[زمرة دورية|مجموعة دورانية]] من ترتيب <math> n </math>؛ يؤدي دمج هذا مع التناظر الانعكاسي إلى تناظر مجموعة ثنائية <math> D_n </math> من ترتيب <math> 2n </math>.<ref>{{multiref
|{{harvp|Powell|2010 | p=[https://books.google.com/books?id=ojq5BQAAQBAJ&pg=PA27 27]}}
 | {{harvp | Solomon | 2003 | p = [https://books.google.com/books?id=ouvZKQiykf4C&pg=PA40 40] }}
}}</ref> في [[نقاط تناظر ثلاثية الأبعاد]]، تشمل التحويلات التي تحافظ على تناظر المجسم دوران حول الخط الذي يمر عبر مركز القاعدة، المعروف باسم [[تناظر محوري|محور التناظر]]، والانعكاس بالنسبة للمستويات العمودية التي تمر عبر قسم القاعدة، والذي يعرف باسم التناظر الهرمي <math> C_{n \mathrm{v}} </math> من ترتيب <math> 2n </math>. تُعرف التحويلة التي تحافظ على تناظر المجسّم بالانعكاس عبر مستوى أفقي باسم التناظر الهرمي <math> D_{n \mathrm{h}} </math> من ترتيب <math> 4n </math>. يحافظ التناظر المضاد الهرمي <math> D_{n \mathrm{d}} </math> من ترتيب <math> 4n </math> على التناظر عن طريق تدوير نصف القاعدة السفلية والانعكاس عبر المستوى الأفقي.

تحتفظ التناظرية بالتماثل من خلال تدوير نصفها السفلي والانعكاس عبر المستوى الأفقي. تُحافظ مجموعة التناظر <math> C_{n \mathrm{h}} </math> من الرتبة <math> 2n </math> على التماثل من خلال الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوى الأفقي؛ الحالة المحددة التي تحافظ على التماثل من خلال دوران كامل واحد هي <math> C_{1 \mathrm{h}} </math> من الرتبة 2، وغالبًا ما يُشار إليها بـ <math> C_s </math>.<ref>{{sfnp|Flusser|Suk|Zitofa|2017|p=[https://books.google.com/books?id=jwKLDQAAQBAJ&pg=PA126 126]}}</ref> تشمل قياسات الأشكال المتعددة السطوح [[مساحة السطح]] و[[الحجم]]. تُحسب [[المساحة]] كقياس ثنائي الأبعاد من خلال حاصل ضرب الطول والعرض؛ بالنسبة للمتعدد السطوح، مساحة السطح هي مجموع مساحات جميع وجوهه.{{sfnp|Walsh|2014|p=[https://books.google.com/books?id=ZhDdAwAAQBAJ&pg=PA284 284]}} الحجم هو قياس لمنطقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.{{sfnp|Parker|1997|p=[https://archive.org/details/mcgrawhilldictio00park_0/page/264 264]}} يمكن تحديد حجم الشكل المتعدد السطوح بطرق مختلفة: إما من خلال قاعدته وارتفاعه (مثل الأهرامات و[[منشور (الهندسة)|المنشورات]])، أو عن طريق تقطيعه إلى قطع وجمع أحجامها الفردية، أو من خلال إيجاد [[جذر دالة|جذر]] [[متعدد الحدود]] يمثل الشكل [[متعدد السطوح|المتعدد السطوح]].<ref>{{multiref
|{{harvp|Cromwell|1997|p=[https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&&pg=PA36 36]}}
|{{harvp|Berman|1971}}
|{{harvp|Timofeenko|2009}}
}}</ref>
{| class="wikitable sortable mw-datatable sticky-header-multi sort-under plainrowheaders"
|+ الأشكال الـ 92 لجونسون
!scope=col | <math> J_n </math>
!scope=col | اسم الشكل
!scope=col | صورة
!scope=col | الرؤوس
!scope=col | الحواف
!scope=col | الوجوه
!scope=col | [[قائمة مجموعات التناظر الكروية|مجموعة التناظر]] ورقمها [[رقم التناظر|الرتبة]]{{sfnp|Johnson|1966}}
!scope=col | مساحة السطح والحجم{{sfnp|Berman|1971}}
|- 
!scope=row | 1
| [[هرم مربع متساوي الأضلاع]]
| [[ملف:Square pyramid.png|100px]]
| 5
| 8
| 5
| <math> C_{4v} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= \left(1 + \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 2.7321a^2 \\
 V &= \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 \\
 &\approx 0.2357a^3 \end{align} </math>
|- 
!scope=row | 2
| [[هرم خماسي]]
| [[ملف:Pentagonal pyramid.png|100px]]
| 6
| 10
| 6
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{a^2}{2}\sqrt{\frac{5}{2}\left(10+\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)} \\
 &\approx 3.8855a^2 \\
 V &= \left(\frac{5 + \sqrt{5}}{24}\right)a^3 \\
 &\approx 0.3015a^3 \end{align} </math>
|- 
!scope=row | 3
| [[قبة مثلثية]]
| [[ملف:Triangular cupola.png|100px]]
| 9
| 15
| 8
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \left(3+\frac{5\sqrt{3}}{2} \right) a^2 \\
 &\approx 7.3301a^2 \\ 
 V &= \left(\frac{5}{3\sqrt{2}}\right) a^3 \\
 &\approx 1.1785a^3 \end{align} </math>
|-
!scope=row | 4
| {{Ill-WD2|قبيبة مربعة|id=Q76068}}
| [[ملف:Square cupola.png|100px]]
| 12
| 20
| 10
| <math> C_{4v} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= \left(7+2\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 11.5605a^2 \\
 V &= \left(1+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 1.9428a^3 \end{align} </math>
|-
!scope=row | 5
| [[Pentagonal cupola]]
| [[ملف:Pentagonal cupola.png|100px]]
| 15
| 25
| 12
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \left(\frac{1}{4}\left(20+5\sqrt{3}+\sqrt{5\left(145+62\sqrt{5}\right)}\right)\right)a^2 \\
 &\approx 16.5798a^2 \\
 V &= \left(\frac{1}{6}\left(5+4\sqrt{5}\right)\right)a^3 \\
 &\approx 2.3241a^3 \end{align} </math>
|-
!scope=row | 6
| [[Pentagonal rotunda]]
| [[ملف:Pentagonal rotunda.png|100px]]
| 20
| 35
| 17
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \left(\frac{1}{2}\left(5\sqrt{3}+\sqrt{10\left(65+29\sqrt{5}\right)}\right)\right)a^2 \\
 &\approx 22.3472a^2 \\
 V &= \left(\frac{1}{12}\left(45+17\sqrt{5}\right)\right)a^3 \\
 &\approx 6.9178a^3 \end{align} </math>
|-
!scope=row | 7
| [[Elongated triangular pyramid]]
| [[ملف:Elongated triangular pyramid.png|100px]]
| 7
| 12
| 7
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \left(3+\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 4.7321a^2 \\
 V &= \left(\frac{1}{12}\left(\sqrt{2}+3\sqrt{3}\right)\right)a^3 \\
 &\approx 0.5509a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 8
| [[Elongated square pyramid]]
| [[ملف:Elongated square pyramid.png|100px]]
| 9
| 16
| 9
| <math> C_{4v} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= \left( 5 + \sqrt{3} \right)a^2 \\
 &\approx 6.7321a^2 \\
 V &= \left( 1 + \frac{\sqrt{2}}{6}\right)a^3 \\
 &\approx 1.2357a^3 \end{align} </math>
|-
!scope=row | 9
| [[Elongated pentagonal pyramid]]
| [[ملف:Elongated pentagonal pyramid.png|100px]]
| 11
| 20
| 11
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{20 + 5\sqrt{3} + \sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{4}a^2 \\
 &\approx 8.8855a^2 \\
 V &= \left(\frac{5 + \sqrt{5} + 6\sqrt{25 + 10\sqrt{5}}}{24} \right)a^3 \\
 &\approx 2.022a^3 \end{align} </math>
|-
!scope=row | 10
| [[Gyroelongated square pyramid]]
| [[ملف:Gyroelongated square pyramid.png|100px]]
| 9
| 20
| 13
| <math> C_{4v} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= (1 + 3\sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 6.1962a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(\sqrt{2}+2 \sqrt{4+3 \sqrt{2}}\right)a^3 \\
 &\approx 1.1927a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 11
| [[Gyroelongated pentagonal pyramid]]
| [[ملف:Gyroelongated pentagonal pyramid.png|100px]]
| 11
| 25
| 16
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(15 \sqrt{3}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 8.2157a^2 \\
 V &= \frac{1}{24} \left(25+9 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 1.8802a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 12
| [[Triangular bipyramid]]
| [[ملف:Triangular dipyramid.png|100px]]
| 5
| 9
| 6
| <math> D_{3h} </math> من الرتبة 12
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \\
 &\approx 2.5981a^2 \\ 
 V &= \frac{\sqrt{2}}{6}a^3 \\
 &\approx 0.2358a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 13
| {{Ill-WD2|هرم مزدوج خماسي|id=Q193597}}
| [[ملف:Pentagonal dipyramid.png|100px]]
| 7
| 15
| 10
| <math> D_{5h} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{5 \sqrt{3}}{2}a^2 \\
 &\approx 4.3301a^2 \\
 V &= \frac{1}{12} \left(5+\sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 0.603a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 14
| [[Elongated triangular bipyramid]]
| [[ملف:Elongated triangular dipyramid.png|100px]]
| 8
| 15
| 9
| <math> D_{3h} </math> من الرتبة 12
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{3}{2} \left(2+\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 5.5981a^2 \\
 V &= \frac{1}{12} \left(2 \sqrt{2}+3 \sqrt{3}\right)a^3 \\
 &\approx 0.6687a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 15
| [[Elongated square bipyramid]]
| [[ملف:Elongated square dipyramid.png|100px]]
| 10
| 20
| 12
| <math> D_{4h} </math> من الرتبة 16
| <math> \begin{align}
 A &= 2 \left(2+\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 7.4641a^2 \\
 V &= \frac{1}{3} \left(3+\sqrt{2}\right)a^3 \\
 &\approx 1.4714a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 16
| [[Elongated pentagonal bipyramid]]
| [[ملف:Elongated pentagonal dipyramid.png|100px]]
| 12
| 25
| 15
| <math> D_{5h} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{5}{2} \left(2+\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 9.3301a^2 \\
 V &= \frac{1}{12} \left(5+\sqrt{5}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^3 \\
 &\approx 2.3235a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 17
| [[Gyroelongated square bipyramid]]
| [[ملف:Gyroelongated square dipyramid.png|100px]]
| 10
| 24
| 16
| <math> D_{4d} </math> من الرتبة 16
| <math> \begin{align}
 A &= 4 \sqrt{3}a^2 \\
 &\approx 6.9282a^2 \\
 V &= \frac{1}{3} \left(\sqrt{2} + \sqrt{4 + 3 \sqrt{2}}\right)a^3 \\
 &\approx 1.4284a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 18
| [[Elongated triangular cupola]]
| [[ملف:Elongated triangular cupola.png|100px]]
| 15
| 27
| 14
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2} \left(18+5 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 13.3301a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(5\sqrt{2}+9\sqrt{3}\right)a^3 \\
 &\approx 3.7766a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 19
| [[Elongated square cupola]]
| [[ملف:Elongated square cupola.png|100px]]
| 20
| 36
| 18
| <math> C_{4v} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= (15+2 \sqrt{2}+\sqrt{3})a^2\\
 &\approx 19.5605a^2 \\
 V &= \left(3+\frac{8 \sqrt{2}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 6.7712a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 20
| [[Elongated pentagonal cupola]]
| [[ملف:Elongated pentagonal cupola.svg|100px]]
| 25
| 45
| 22
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(60+5 \sqrt{3}+10 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 26.5798a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(5+4 \sqrt{5}+15 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}\right)a^3 \\
 &\approx 10.0183a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 21
| [[Elongated pentagonal rotunda]]
| [[ملف:Elongated pentagonal rotunda.png|100px]]
| 30
| 55
| 27
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2}a^2 \left(20+5 \sqrt{3}+5 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right) \\
 &\approx 32.3472a^2 \\
 V &= \frac{1}{12}a^3 \left(45+17 \sqrt{5}+30 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}\right) \\
 &\approx 14.612a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 22
| [[Gyroelongated triangular cupola]]
| [[ملف:Gyroelongated triangular cupola.png|100px]]
| 15
| 33
| 20
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2} \left(6+11 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 12.5263a^2 \\
 V &= \frac{1}{3} \sqrt{\frac{61}{2}+18 \sqrt{3}+30 \sqrt{1+\sqrt{3}}}a^3 \\
 &\approx 3.5161a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 23
| [[Gyroelongated square cupola]]
| [[ملف:Gyroelongated square cupola.png|100px]]
| 20
| 44
| 26
| <math> C_{4v} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= (7+2 \sqrt{2}+5 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 18.4887a^2 \\
 V &= \left(1+\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{4+2\sqrt{2}+2\sqrt{146+103\sqrt{2}}}\right)a^3 \\
 &\approx 6.2108a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 24
| [[Gyroelongated pentagonal cupola]]
| [[ملف:Gyroelongated pentagonal cupola.png|100px]]
| 25
| 55
| 32
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(20+25 \sqrt{3}+10 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 25.2400a^2 \\
 V &= \left(\frac{5}{6}+\frac{2}{3}\sqrt{5} + \frac{5}{6}\sqrt{2\sqrt{650+290\sqrt{5}}-2\sqrt{5}-2}\right) a^3 \\
 &\approx 9.0733a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 25
| [[Gyroelongated pentagonal rotunda]]
| [[ملف:Gyroelongated pentagonal rotunda.png|100px]]
| 30
| 65
| 37
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2}\left( 15\sqrt{3}+\left(5+3\sqrt{5}\right)\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^2 \\
 &\approx 31.0075a^2 \\
 V &= \left(\frac{45}{12}+\frac{17}{12}\sqrt{5} + \frac{5}{6}\sqrt{2\sqrt{650+290\sqrt{5}}-2\sqrt{5}-2}\right) a^3 \\
 &\approx 13.6671a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 26
| [[Gyrobifastigium]]
| [[ملف:Gyrobifastigium.png|100px]]
| 8
| 14
| 8
| <math> D_{2d} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= \left(4+\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 5.7321a^2 \\
 V &= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)a^3 \\
 &\approx 0.866a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 27
| [[Triangular orthobicupola]]
| [[ملف:Triangular orthobicupola.png|100px]]
| 12
| 24
| 14
| <math> D_{3h} </math> من الرتبة 12
| <math> \begin{align}
 A &= 2\left(3+\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 9.4641a^2 \\
 V &= \frac{5\sqrt{2}}{3}a^3 \\
 &\approx 2.357a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 28
| [[Square orthobicupola]]
| [[ملف:Square orthobicupola.png|100px]]
| 16
| 32
| 18
| <math> D_{4h} </math> من الرتبة 16
| <math> \begin{align}
 A &= 2(5 + \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 13.4641a^2 \\
 V &= \left(2 + \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 3.8856a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 29
| [[Square gyrobicupola]]
| [[ملف:Square gyrobicupola.png|100px]]
| 16
| 32
| 18
| <math> D_{4d} </math> من الرتبة 16
| <math> \begin{align}
 A &= 2(5 + \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 13.4641a^2 \\
 V &= \left(2 + \frac{4\sqrt{2}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 3.8856a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 30
| [[Pentagonal orthobicupola]]
| [[ملف:Pentagonal orthobicupola.png|100px]]
| 20
| 40
| 22
| <math> D_{5h} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left(10+\sqrt{\frac{5}{2}\left(10+\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 17.7711a^2 \\
 V &= \frac{1}{3}\left(5+4\sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 4.6481a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 31
| [[Pentagonal gyrobicupola]]
| [[ملف:Pentagonal gyrobicupola.png|100px]]
| 20
| 40
| 22
| <math> D_{5d} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left(10+\sqrt{\frac{5}{2}\left(10+\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 17.7711a^2 \\
 V &= \frac{1}{3}\left(5+4\sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 4.6481a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 32
| [[Pentagonal orthocupolarotunda]]
| [[ملف:Pentagonal orthocupolarotunda.png|100px]]
| 25
| 50
| 27
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \left(5+\frac{1}{4}\sqrt{1900+490\sqrt{5}+210\sqrt{75+30\sqrt{5}}}\right)a^2 \\
 &\approx 23.5385a^2 \\
 V &= \frac{5}{12}\left(11+5\sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 9.2418a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 33
| [[Pentagonal gyrocupolarotunda]]
| [[ملف:Pentagonal gyrocupolarotunda.png|100px]]
| 25
| 50
| 27
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \left(5+\frac{15}{4}\sqrt{3}+\frac{7}{4}\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2 \\
 &\approx 23.5385a^2 \\
 V &= \frac{5}{12}\left(11+5\sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 9.2418a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 34
| [[Pentagonal orthobirotunda]]
| [[ملف:Pentagonal orthobirotunda.png|100px]]
| 30
| 60
| 32
| <math> D_{5h} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left((5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 29.306a^2 \\
 V &= \frac{1}{6}(45 + 17\sqrt{5})a^3 \\
 &\approx 13.8355a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 35
| [[Elongated triangular orthobicupola]]
| [[ملف:Elongated triangular orthobicupola.png|100px]]
| 18
| 36
| 20
| <math> D_{3h} </math> من الرتبة 12
| <math> \begin{align}
 A &= 2(6 + \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 15.4641a^2 \\
 V &= \left(\frac{5 \sqrt{2}}{3} + \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)a^3 \\
 &\approx 4.9551a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 36
| [[Elongated triangular gyrobicupola]]
| [[ملف:Elongated triangular gyrobicupola.png|100px]]
| 18
| 36
| 20
| <math> D_{3d} </math> من الرتبة 12
| <math> \begin{align}
 A &= 2(6 + \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 15.4641a^2 \\
 V &= \left(\frac{5 \sqrt{2}}{3} + \frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)a^3 \\
 &\approx 4.9551a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 37
| [[Elongated square gyrobicupola]]
| [[ملف:Elongated square gyrobicupola.png|100px]]
| 24
| 48
| 26
| <math> D_{4d} </math> من الرتبة 16
| <math> \begin{align}
 A &= 2(9 + \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 21.4641a^2 \\
 V &= \left(4 + \frac{10\sqrt{2}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 8.714a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 38
| [[Elongated pentagonal orthobicupola]]
| [[ملف:Elongated pentagonal orthobicupola.png|100px]]
| 30
| 60
| 32
| <math> D_{5h} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left(20+\sqrt{\frac{5}{2}\left(10+\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 27.7711a^2 \\
 V &= \frac{1}{6}\left(10+8\sqrt{5}+15\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^3 \\
 &\approx 12.3423a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 39
| [[Elongated pentagonal gyrobicupola]]
| [[ملف:Elongated pentagonal gyrobicupola.png|100px]]
| 30
| 60
| 32
| <math> D_{5d} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left(20+\sqrt{\frac{5}{2}\left(10+\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 27.7711a^2 \\
 V &= \frac{1}{6}\left(10+8\sqrt{5}+15\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^3 \\
 &\approx 12.3423a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 40
| [[Elongated pentagonal orthocupolarotunda]]
| [[ملف:Elongated pentagonal orthocupolarotunda.png|100px]]
| 35
| 70
| 37
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4}\left(60+\sqrt{10\left(190+49\sqrt{5}+21\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 33.5385a^2 \\
 V &= \frac{5}{12}\left(11+5\sqrt{5}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^3 \\
 &\approx 16.936a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 41
| [[Elongated pentagonal gyrocupolarotunda]]
| [[ملف:Elongated pentagonal gyrocupolarotunda.png|100px]]
| 35
| 70
| 37
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4}\left(60+\sqrt{10\left(190+49\sqrt{5}+21\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 33.5385a^2 \\
 V &= \frac{5}{12}\left(11+5\sqrt{5}+6\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^3 \\
 &\approx 16.936a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 42
| [[Elongated pentagonal orthobirotunda]]
| [[ملف:Elongated pentagonal orthobirotunda.png|100px]]
| 40
| 80
| 42
| <math> D_{5h} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left(10+\sqrt{30\left(10+3\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 39.306a^2 \\
 V &= \frac{1}{6}\left(45+17\sqrt{5}+15\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^3 \\
 &\approx 21.5297a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 43
| [[Elongated pentagonal gyrobirotunda]]
| [[ملف:Elongated pentagonal gyrobirotunda.png|100px]]
| 40
| 80
| 42
| <math> D_{5d} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left(10+\sqrt{30\left(10+3\sqrt{5}+\sqrt{75+30\sqrt{5}}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 39.306a^2 \\
 V &= \frac{1}{6}\left(45+17\sqrt{5}+15\sqrt{5+2\sqrt{5}}\right)a^3 \\
 &\approx 21.5297a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 44
| [[Gyroelongated triangular bicupola]]
| [[ملف:Gyroelongated triangular bicupola.png|100px]]
| 18
| 42
| 26
| <math> D_3 </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \left(6+5\sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 14.6603a^2 \\
 V &= \sqrt{2} \left(\frac{5}{3}+\sqrt{1+\sqrt{3}}\right) a^3 \\
 &\approx 4.6946a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 45
| [[Gyroelongated square bicupola]]
| [[ملف:Gyroelongated square bicupola.png|100px]]
| 24
| 56
| 34
| <math> D_4 </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= \left(10+6\sqrt{3}\right) a^2 \\
 &\approx 20.3923a^2 \\
 V &= \left(2+\frac{4}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{4+2\sqrt{2}+2\sqrt{146+103\sqrt{2}}}\right) a^3 \\
 &\approx 8.1536a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 46
| [[Gyroelongated pentagonal bicupola]]
| [[ملف:Gyroelongated pentagonal bicupola.png|100px]]
| 30
| 70
| 42
| <math> D_5 </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2}\left(20+15\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2 \\
 &\approx 26.4313a^2 \\
 V &= \left(\frac{5}{3}+\frac{4}{3}\sqrt{5} + \frac{5}{6}\sqrt{2\sqrt{650+290\sqrt{5}}-2\sqrt{5}-2}\right) a^3 \\
 &\approx 11.3974a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 47
| [[Gyroelongated pentagonal cupolarotunda]]
| [[ملف:Gyroelongated pentagonal cupolarotunda.png|100px]]
| 35
| 80
| 47
| <math> C_5 </math> من الرتبة 5
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4}\left(20+35\sqrt{3}+7\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right)a^2 \\
 &\approx 32.1988a^2 \\
 V &= \left(\frac{55}{12}+\frac{25}{12}\sqrt{5}+ \frac{5}{6}\sqrt{2\sqrt{650+290\sqrt{5}}-2\sqrt{5}-2}\right) a^3 \\
 &\approx 15.9911a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 48
| [[Gyroelongated pentagonal birotunda]]
| [[ملف:Gyroelongated pentagonal birotunda.png|100px]]
| 40
| 90
| 52
| <math> D_5 </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \left(10\sqrt{3} + 3\sqrt{25+10\sqrt{5}}\right) a^2 \\
 &\approx 37.9662a^2 \\
 V &= \left(\frac{45}{6}+\frac{17}{6}\sqrt{5} + \frac{5}{6}\sqrt{2\sqrt{650+290\sqrt{5}}-2\sqrt{5}-2}\right) a^3 \\
 &\approx 20.5848a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 49
| [[Augmented triangular prism]]
| [[ملف:Augmented triangular prism.png|100px]]
| 7
| 13
| 8
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2}(4 + 3\sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 4.5981a^2 \\
 V &= \frac{1}{12}(2\sqrt{2} + 3\sqrt{3})a^3 \\
 &\approx 0.6687a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 50
| [[Biaugmented triangular prism]]
| [[ملف:Biaugmented triangular prism.png|100px]]
| 8
| 17
| 11
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2}(2 + 5\sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 5.3301a^2 \\
 V &= \sqrt{\frac{59}{144} + \frac{1}{\sqrt{6}}}a^3 \\
 &\approx 0.9044a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 51
| [[Triaugmented triangular prism]]
| [[ملف:Triaugmented triangular prism.png|100px]]
| 9
| 21
| 14
| <math> D_{3h} </math> من الرتبة 12
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{7\sqrt{3}}{2}a^2 \\
 &\approx 6.0622a^2 \\
 V &= \frac{2\sqrt{2}+\sqrt{3}}{4}a^3 \\
 &\approx 1.1401a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 52
| [[Augmented pentagonal prism]]
| [[ملف:Augmented pentagonal prism.png|100px]]
| 11
| 19
| 10
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2} \left(8+2 \sqrt{3}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 9.173a^2 \\
 V &= \frac{1}{12} \sqrt{233+90 \sqrt{5}+12 \sqrt{50+20 \sqrt{5}}}a^3 \\
 &\approx 1.9562a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 53
| [[Biaugmented pentagonal prism]]
| [[ملف:Biaugmented pentagonal prism.png|100px]]
| 12
| 23
| 13
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2}a^2 \left(6+4 \sqrt{3}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right) \\
 &\approx 9.9051a^2 \\
 V &= \frac{1}{12}a^3 \sqrt{257+90 \sqrt{5}+24 \sqrt{50+20 \sqrt{5}}} \\
 &\approx 2.1919a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 54
| [[Augmented hexagonal prism]]
| [[ملف:Augmented hexagonal prism.png|100px]]
| 13
| 22
| 11
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= (5+4 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 11.9282a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(\sqrt{2}+9 \sqrt{3}\right)a^3 \\
 &\approx 2.8338a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 55
| [[Parabiaugmented hexagonal prism]]
| [[ملف:Parabiaugmented hexagonal prism.png|100px]]
| 14
| 26
| 14
| <math> D_{2h} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= (4+5 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 12.6603a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(2 \sqrt{2}+9 \sqrt{3}\right)a^3 \\
 &\approx 3.0695a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 56
| [[Metabiaugmented hexagonal prism]]
| [[ملف:Metabiaugmented hexagonal prism.png|100px]]
| 14
| 26
| 14
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= (4+5 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 12.6603a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(2 \sqrt{2}+9 \sqrt{3}\right)a^3 \\
 &\approx 3.0695a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 57
| [[Triaugmented hexagonal prism]]
| [[ملف:Triaugmented hexagonal prism.png|100px]]
| 15
| 30
| 17
| <math> D_{3h} </math> من الرتبة 12
| <math> \begin{align}
 A &= 3 \left(1+2 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 13.3923a^2 \\
 V &= \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3 \sqrt{3}}{2}\right)a^3 \\
 &\approx 3.3052a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 58
| [[Augmented dodecahedron]]
| [[ملف:Augmented dodecahedron.png|100px]]
| 21
| 35
| 16
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(5 \sqrt{3}+11 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 21.0903a^2 \\
 V &= \frac{1}{24} \left(95+43 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 7.9646a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 59
| [[Parabiaugmented dodecahedron]]
| [[ملف:Parabiaugmented dodecahedron.png|100px]]
| 22
| 40
| 20
| <math> D_{5d} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{5}{2} \left(\sqrt{3}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 21.5349a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(25+11 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 8.2661a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 60
| [[Metabiaugmented dodecahedron]]
| [[ملف:Metabiaugmented dodecahedron.png|100px]]
| 22
| 40
| 20
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{5}{2} \left(\sqrt{3}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 21.5349a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(25+11 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 8.2661a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 61
| [[Triaugmented dodecahedron]]
| [[ملف:Triaugmented dodecahedron.png|100px]]
| 23
| 45
| 24
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{3}{4} \left(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 21.9795a^2 \\
 V &= \frac{5}{8} \left(7+3 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 8.5676a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 62
| [[Metabidiminished icosahedron]]
| [[ملف:Metabidiminished icosahedron.png|100px]]
| 10
| 20
| 12
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2} \left(5 \sqrt{3}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 7.7711a^2 \\
 V &= \frac{1}{6} \left(5+2 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 1.5787a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 63
| [[Tridiminished icosahedron]]
| [[ملف:Tridiminished icosahedron.png|100px]]
| 9
| 15
| 8
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 7.3265a^2 \\
 V &= \left(\frac{5}{8}+\frac{7 \sqrt{5}}{24}\right)a^3 \\
 &\approx 1.2772a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 64
| [[Augmented tridiminished icosahedron]]
| [[ملف:Augmented tridiminished icosahedron.png|100px]]
| 10
| 18
| 10
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(7 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 8.1925a^2 \\
 V &= \frac{1}{24} \left(15+2 \sqrt{2}+7 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 1.395a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 65
| [[Augmented truncated tetrahedron]]
| [[ملف:Augmented truncated tetrahedron.png|100px]]
| 15
| 27
| 14
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2} \left(6+13 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 14.2583a^2 \\
 V &= \frac{11}{2 \sqrt{2}}a^3 \\
 &\approx 3.8891a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 66
| [[Augmented truncated cube]]
| [[ملف:Augmented truncated cube.png|100px]]
| 28
| 48
| 22
| <math> C_{4v} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= (15+10 \sqrt{2}+3 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 34.3383a^2 \\
 V &= \left(8+\frac{16 \sqrt{2}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 15.5425a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 67
| [[Biaugmented truncated cube]]
| [[ملف:Biaugmented truncated cube.png|100px]]
| 32
| 60
| 30
| <math> D_{4h} </math> من الرتبة 16
| <math> \begin{align}
 A &= 2 \left(9+4 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 36.2419a^2 \\
 V &= (9+6 \sqrt{2})a^3 \\
 &\approx 17.4853a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 68
| [[Augmented truncated dodecahedron]]
| [[ملف:Augmented truncated dodecahedron.png|100px]]
| 65
| 105
| 42
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(20+25 \sqrt{3}+110 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 102.1821a^2 \\
 V &= \left(\frac{505}{12}+\frac{81 \sqrt{5}}{4}\right)a^3 \\
 &\approx  87.3637a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 69
| [[Parabiaugmented truncated dodecahedron]]
| [[ملف:Parabiaugmented truncated dodecahedron.png|100px]]
| 70
| 120
| 52
| <math> D_{5d} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2} \left(20+15 \sqrt{3}+50 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 103.3734a^2 \\
 V &= \frac{1}{12} \left(515+251 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 89.6878a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 70
| [[Metabiaugmented truncated dodecahedron]]
| [[ملف:Metabiaugmented truncated dodecahedron.png|100px]]
| 70
| 120
| 52
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{2} \left(20+15 \sqrt{3}+50 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 103.3734a^2 \\
 V &= \frac{1}{12} \left(515+251 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 89.6878a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 71
| [[Triaugmented truncated dodecahedron]]
| [[ملف:Triaugmented truncated dodecahedron.png|100px]]
| 75
| 135
| 62
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(60+35 \sqrt{3}+90 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 104.5648a^2 \\
 V &= \frac{7}{12} \left(75+37 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 92.0118a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 72
| [[Gyrate rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Gyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 60
| 120
| 62
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \left(30+5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 59.306a^2 \\
 V &= \left(20+\frac{29 \sqrt{5}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 41.6153a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 73
| [[Parabigyrate rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Parabigyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 60
| 120
| 62
| <math> D_{5d} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \left(30+5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 59.306a^2 \\
 V &= \left(20+\frac{29 \sqrt{5}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 41.6153a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 74
| [[Metabigyrate rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Metabigyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 60
| 120
| 62
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \left(30+5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 59.306a^2 \\
 V &= \left(20+\frac{29 \sqrt{5}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 41.6153a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 75
| [[Trigyrate rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Trigyrate rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 60
| 120
| 62
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \left(30+5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 59.306a^2 \\
 V &= \left(20+\frac{29 \sqrt{5}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 41.6153a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 76
| [[Diminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 55
| 105
| 52
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(100+15 \sqrt{3}+10 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+11 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 58.1147a^2 \\
 V &= \left(\frac{115}{6}+9 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 39.2913a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 77
| [[Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 55
| 105
| 52
| <math> C_{5v} </math> من الرتبة 10
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(100+15 \sqrt{3}+10 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+11 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 58.1147a^2 \\
 V &= \left(\frac{115}{6}+9 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 39.2913a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 78
| [[Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 55
| 105
| 52
| <math> C_s </math> من الرتبة 2
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(100+15 \sqrt{3}+10 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+11 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 58.1147a^2 \\
 V &= \left(\frac{115}{6}+9 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 39.2913a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 79
| [[Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 55
| 105
| 52
| <math> C_s </math> من الرتبة 2
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(100+15 \sqrt{3}+10 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+11 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 58.1147a^2 \\
 V &= \left(\frac{115}{6}+9 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 39.2913a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 80
| [[Parabidiminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Parabidiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 50
| 90
| 42
| <math> D_{5d} </math> من الرتبة 20
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{5}{2} \left(8+\sqrt{3}+2 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 56.9233a^2 \\
 V &= \frac{5}{3} \left(11+5 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 36.9672a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 81
| [[Metabidiminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Metabidiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 50
| 90
| 42
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{5}{2} \left(8+\sqrt{3}+2 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 56.9233a^2 \\
 V &= \frac{5}{3} \left(11+5 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 36.9672a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 82
| [[Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 50
| 90
| 42
| <math> C_s </math> من الرتبة 2
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{5}{2} \left(8+\sqrt{3}+2 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 56.9233a^2 \\
 V &= \frac{5}{3} \left(11+5 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 36.9672a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 83
| [[Tridiminished rhombicosidodecahedron]]
| [[ملف:Tridiminished rhombicosidodecahedron.png|100px]]
| 45
| 75
| 32
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(60+5 \sqrt{3}+30 \sqrt{5+2 \sqrt{5}}+9 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 55.732a^2 \\
 V &= \left(\frac{35}{2}+\frac{23 \sqrt{5}}{3}\right)a^3 \\
 &\approx 34.6432a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 84
| [[Snub disphenoid]]
| [[ملف:Snub disphenoid.png|100px]]
| 8
| 18
| 12
| <math> D_{2d} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= 3 \sqrt{3}a^2 \\
 &\approx 5.1962a^2 \\
 V &\approx 0.8595a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 85
| [[Snub square antiprism]]
| [[ملف:Snub square antiprism.png|100px]]
| 16
| 40
| 26
| <math> D_{4d} </math> من الرتبة 16
| <math> \begin{align}
 A &= 2 \left(1+3 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 12.3923a^2 \\
 V &\approx 3.6012a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 86
| [[Sphenocorona]]
| [[ملف:Sphenocorona.png|100px]]
| 10
| 22
| 14
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= (2+3 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 7.1962a^2 \\
 V &= \frac{1}{2}a^3 \sqrt{1+3 \sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{13+3 \sqrt{6}}} \\
 &\approx 1.5154a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 87
| [[Augmented sphenocorona]]
| [[ملف:Augmented sphenocorona.png|100px]]
| 11
| 26
| 17
| <math> C_s </math> من الرتبة 2
| <math> \begin{align}
 A &= (1+4 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 7.9282a^2 \\
 V &= \frac{1}{2}a^3\sqrt{1 + 3 \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{13 + 3 \sqrt{6}}}+\frac{1}{3\sqrt{2}} \\
 &\approx 1.7511a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 88
| [[Sphenomegacorona]]
| [[ملف:Sphenomegacorona.png|100px]]
| 12
| 28
| 18
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= 2 \left(1+2 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 8.9282a^2 \\
 V &\approx 1.9481a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 89
| [[Hebesphenomegacorona]]
| [[ملف:Hebesphenomegacorona.png|100px]]
| 14
| 33
| 21
| <math> C_{2v} </math> من الرتبة 4
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{3}{2} \left(2+3 \sqrt{3}\right)a^2 \\
 &\approx 10.7942a^2 \\
 V &\approx 2.9129a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 90
| [[Disphenocingulum]]
| [[ملف:Disphenocingulum.png|100px]]
| 16
| 38
| 24
| <math> D_{2d} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= (4+5 \sqrt{3})a^2 \\
 &\approx 12.6603a^2 \\
 V &\approx 3.7776a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 91
| [[Bilunabirotunda]]
| [[ملف:Bilunabirotunda.png|100px]]
| 14
| 26
| 14
| <math> D_{2h} </math> من الرتبة 8
| <math> \begin{align}
 A &= \left(2+2 \sqrt{3}+\sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 12.346a^2 \\
 V &= \frac{1}{12} \left(17+9 \sqrt{5}\right)a^3 \\
 &\approx 3.0937a^3
\end{align} </math>
|-
!scope=row | 92
| [[Triangular hebesphenorotunda]]
| [[ملف:Triangular hebesphenorotunda.png|100px]]
| 18
| 36
| 20
| <math> C_{3v} </math> من الرتبة 6
| <math> \begin{align}
 A &= \frac{1}{4} \left(12+19 \sqrt{3}+3 \sqrt{5 \left(5+2 \sqrt{5}\right)}\right)a^2 \\
 &\approx 16.3887a^2 \\
 V &= \left(\frac{5}{2}+\frac{7 \sqrt{5}}{6}\right)a^3 \\
 &\approx 5.1087a^3
\end{align} </math>
|}

== References ==
{{مراجع}}

== Bibliography ==
{{بداية المراجع|30em}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
 | الأخير = Berman | الأول = M.
 | doi = 10.1016/0016-0032(71)90071-8
 | صحيفة = Journal of the Franklin Institute
 | mr = 290245
 | صفحات = 329–352
 | عنوان = Regular-faced convex polyhedra
 | المجلد = 291
 | سنة = 1971 | العدد = 5
 }}
* {{Cite conference
 | الأخير1 = Boissonnat | الأول1= J. D.
 | الأخير2 = Yvinec | الأول2 = M.
 | تاريخ = June 1989
 | عنوان = Probing a scene of non convex polyhedra
 | عنوان المؤتمر = Proceedings of the fifth annual symposium on Computational geometry
 | صفحات = 237–246
 | doi = 10.1145/73833.73860
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Cromwell | الأول = P. R.
 | عنوان = Polyhedra
 | سنة = 1997
 | مسار = https://archive.org/details/polyhedra0000crom
 | ناشر = [[مطبعة جامعة كامبريدج]]
 | isbn = 978-0-521-66405-9
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Diudea | الأول = M. V.
 | سنة = 2018
 | عنوان = Multi-shell Polyhedral Clusters
 | ناشر = [[شبرينغر|Springer]]
 | isbn = 978-3-319-64123-2
 | doi = 10.1007/978-3-319-64123-2
 | مسار = https://books.google.com/books/about/Multi_shell_Polyhedral_Clusters.html?id=p_06DwAAQBAJ&source=kp_book_description
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير1 = Flusser | الأول1 = J.
 | الأخير2 = Suk | الأول2 = T.
 | الأخير3 = Zitofa | الأول3 = B.
 | سنة = 2017
 | عنوان = 2D and 3D Image Analysis by Moments
 | ناشر = [[John Wiley & Sons]]
 | isbn = 978-1-119-03935-8
 | مسار = https://books.google.com/books/about/2D_and_3D_Image_Analysis_by_Moments.html?id=jwKLDQAAQBAJ&source=kp_book_description
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير1 = Hergert | الأول1 = W.
 | الأخير2 = Geilhufe | الأول2 = M.
 | سنة = 2018
 | عنوان = Group Theory in Solid State Physics and Photonics: Problem Solving with Mathematica
 | مسار = https://books.google.com/books/about/Group_Theory_in_Solid_State_Physics_and.html?id=6mvpCgAAQBAJ&source=kp_book_description
 | ناشر = [[John Wiley & Sons]]
 | isbn = 978-3-527-41300-3
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Holme | الأول = A.
 | سنة = 2010
 | عنوان = Geometry: Our Cultural Heritage
 | ناشر = [[شبرينغر|Springer]]
 | مسار = https://books.google.com/books?id=zXwQGo8jyHUC
 | isbn = 978-3-642-14441-7
 | doi = 10.1007/978-3-642-14441-7
}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
 | الأخير = Johnson | الأول = N. | مؤلف-وصلة = Norman Johnson (mathematician)
 | عنوان = Convex Solids with Regular Faces
 | صحيفة = [[Canadian Journal of Mathematics]]
 | المجلد = 18
 | سنة = 1966
 | صفحات = 169–200
 | doi = 10.4153/CJM-1966-021-8
}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
 | الأخير = Litchenberg | الأول = D. R.
 | سنة = 1988
 | عنوان = Pyramids, Prisms, Antiprisms, and Deltahedra
 | صحيفة = The Mathematics Teacher
 | المجلد = 81
 | العدد = 4
 | صفحات = 261–265
 | jstor = 27965792
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Meyer | الأول = W.
 | سنة = 2006
 | عنوان = Geometry and Its Applications
 | ناشر = [[Academic Press]]
 | مسار = https://books.google.com/books?id=ez6H5Ho6E3cC
 | isbn = 978-0-123-69427-0
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Parker | الأول = S. P.
 | سنة = 1997
 | عنوان = Dictionary of Mathematics
 | ناشر = [[McGraw Hill]]
 | isbn = 978-0-070-52433-0
 | مسار = https://books.google.com/books/about/McGraw_Hill_Dictionary_of_Mathematics.html?id=IdlzQgAACAAJ&source=kp_book_description
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Powell | الأول = R. C.
 | سنة = 2010
 | عنوان = Symmetry, Group Theory, and the Physical Properties of Crystals
 | ناشر = [[شبرينغر|Springer]]
 | مسار = https://books.google.com/books/about/Symmetry_Group_Theory_and_the_Physical_P.html?id=ojq5BQAAQBAJ&source=kp_book_description
 | isbn = 978-1-441-97598-0
 | doi = 10.1007/978-1-4419-7598-0
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Rajwade | الأول = A. R.
 | عنوان = Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem
 | مسار = https://books.google.com/books/about/Convex_Polyhedra_with_Regularity_Conditi.html?id=AGonAQAAIAAJ&source=kp_book_description
 | سلسلة = Texts and Readings in Mathematics
 | سنة = 2001
 | ناشر = Hindustan Book Agency
 | isbn = 978-9-386-27906-4
 | doi = 10.1007/978-93-86279-06-4
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Solomon | الأول = R. |مؤلف-وصلة = Ronald Solomon
 | سنة = 2003
 | عنوان = Abstract Algebra
 | ناشر = [[جمعية الرياضيات الأمريكية]]
 | مسار = https://books.google.com/books?id=ouvZKQiykf4C
 | isbn = 978-0-821-84795-4
}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
 | الأخير1 = Slobodan | الأول1 = M.
 | الأخير2 = Obradović | الأول2 = M.
 | الأخير3 = Ðukanović | الأول3 = G.
 | عنوان = Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms
 | سنة = 2015
 | صحيفة = Journal for Geometry and Graphics
 | المجلد = 19
 | العدد = 1
 | صفحات = 79–91
 | مسار = https://www.heldermann-verlag.de/jgg/jgg19/j19h1misi.pdf
}}
* {{استشهاد بدورية محكمة
 | الأخير = Timofeenko | الأول = A. V.
 | سنة = 2009
 | عنوان = The Non-Platonic and Non-Archimedean Noncomposite Polyhedra
 | صحيفة = Journal of Mathematical Sciences
 | المجلد = 162 | العدد = 5 | صفحات = 710–729
 | doi = 10.1007/s10958-009-9655-0
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Todesco | الأول = G. M.
 | محرر1-الأخير = Emmer | محرر1-الأول = M.
 | محرر2-الأخير = Abate | محرر2-الأول = M.
 | سنة = 2020
 | مسار = https://books.google.com/books/about/Imagine_Math_7.html?id=wtIBEAAAQBAJ&source=kp_book_description
 | الفصل = Hyperbolic Honeycomb
 | عنوان = Imagine Math 7: Between Culture and Mathematics
 | ناشر = [[شبرينغر|Springer]]
 | doi = 10.1007/978-3-030-42653-8
 | isbn = 978-3-030-42653-8
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Uehara | الأول = R.
 | سنة = 2020
 | عنوان = Introduction to Computational Origami: The World of New Computational Geometry
 | مسار = https://books.google.com/books?id=51juDwAAQBAJ
 | ناشر = [[شبرينغر|Springer]]
 | isbn = 978-9-811-54470-5
 | doi = 10.1007/978-981-15-4470-5
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Walsh | الأول = E. T.
 | سنة = 2014
 | عنوان = A First Course in Geometry
 | ناشر = [[Dover Publications|Dover]]
 | مسار = https://books.google.com/books?id=ZhDdAwAAQBAJ
 | isbn = 978-0-486-78020-7
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير1 = Williams | الأول1 = K.
 | الأخير2 = Monteleone | الأول2 = C.
 | سنة = 2021
 | عنوان = Daniele Barbaro’s Perspective of 1568
 | مسار = https://books.google.com/books/about/Daniele_Barbaro_s_Perspective_of_1568.html?id=w5RBEAAAQBAJ&source=kp_book_description
 | ناشر = [[شبرينغر|Springer]]
 | isbn = 978-3-030-76687-0
 | doi = 10.1007/978-3-030-76687-0
}}
* {{استشهاد بكتاب
 | الأخير = Zalgaller | الأول = V. A. | مؤلف-وصلة = Victor Zalgaller
 | عنوان = Convex Polyhedra with Regular Faces
 | ناشر = [[شبرينغر|Springer]]
 | سنة = 1969
 | isbn = 978-1-489-95671-2
}}
{{نهاية المراجع}}

== وصلات خارجية ==
* {{استشهاد ويب
 | الأخير = Hart | الأول = George W. | مؤلف-وصلة = George W. Hart
 | عنوان = Johnson Solids
 | مسار = http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/johnson-info.html
}}
* {{استشهاد ويب
 | عنوان = Johnson Polyhedra
 | مسار = https://web.archive.org/web/20130601082835/http://www.uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm
}}{{Spaced ndash}}Images of all 92 categorised Johnson solids
* {{استشهاد ويب
 | مسار = http://www.orchidpalms.com/polyhedra/johnson/johnson.html
 | عنوان = Johnson Solids
}}{{Spaced ndash}}Visualisations of all 92 Johnson solids
* {{استشهاد ويب
 | مسار = http://bulatov.org/polyhedra/johnson/
 | عنوان = Johnson solids
 | الأخير = Bulatov | الأول = Vladimir
}}{{Spaced ndash}}VRML models of Johnson solids
* {{استشهاد بدورية محكمة
 | الأخير = Gagnon | الأول = Sylvain
 | مسار = https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099/890/st6-11-a7.pdf
 | عنوان = Les polyèdres convexes aux faces régulières
 | عنوان مترجم = Convex polyhedra with regular faces
 | صحيفة = Topologie Structurale
 | trans-journal = Structural Topology
 | العدد = 6
 | سنة = 1982
 | صفحات = 83–95
 | لغة = fr
}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة}}

[[تصنيف:قائمة الأشكال الهندسية]]