قائمة مجسمات جونسون

قالب:يتيمة في الهندسة، تُعَرّف المجسمات بأنها أجسام ثلاثية الأبعاد حيث تتصل النقاط بواسطة خطوط لتشكيل المضلعات. تُعْرَف النقاط والخطوط والمضلعات في المجسم باسم الرؤوس والحواف والوجوه، على التوالي.قالب:Sfnp يُعتبر المجسم محدبًا إذا:^[١]

كانت أقصر مسافة بين أي نقطتين من رؤوسه تقع إما داخل داخله أو على حدوده.
لا تتشارك أي من وجوهه في نفس المستوى—لا تتواجد في نفس المستوى ولا "تكون مسطحة".
لا تكون أي من حوافه متساوية في خط مستقيم—ليست أجزاءً من نفس الخط.

يُعرف المجسم المحدب الذي تكون وجوهه مضلعات منتظمة باسم مجسم جونسون، أو أحيانًا باسم مجسم جونسون-زالجالر. يستبعد بعض المؤلفين المجسمات الموحدة من التعريف. المجسم الموحد هو مجسم تكون وجوهه منتظمة وهي متساوية الوجه؛ تشمل الأمثلة المجسمات البلاتونية والمجسمات الأرخيميدسية بالإضافة إلى المكعبات والمضلع المضاد.^[٢]

تُسمى مجسمات جونسون بهذا الاسم نسبةً إلى عالم الرياضيات الأمريكي نورمان جونسون (1930–2017)، الذي نشر قائمة تضم 92 من هذه المجسمات في عام 1966، حيث افترض بأن القائمة كاملة وأنه لا توجد أمثلة أخرى. وقد أثبتت صحتها بواسطة عالم الرياضيات الروسي-الإسرائيلي فيكتور زالجالر (1920–2020) في عام 1969.^[٣]

يمكن تصنيف بعض مجسمات جونسون كمجسمات أساسية، مما يعني أنه لا يمكن فصلها بواسطة مستوى لإنشاء مجسمين صغيرين محدبين بوجوه منتظمة. المجسمات التي تلبي هذه المعايير هي الستة الأولى—هرم مربع متساوي الأضلاع، هرم خماسي الشكل، كوبولا مثلثية، كوبولا مربعة، كوبولا خماسية الشكل، وروتندا خماسية الشكل. كما يلبي هذه المعايير أحد عشر مجسمًا آخر من مجسمات جونسون، وهي على وجه التحديد على وجه التحديد، ، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص، ديسفينويد أزز، مضاد للمربعات الأزدراء، الوتدي الإكليلي، تضخم الوتدي، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم، بيلونبيروتوندا، وهيبيسفينوروتوندا الثلاثي.

المجسمات العشرونية المتناقصة، المعينات المتوازية المتناقصة، المجسمات المعينية ثلاثية التناقص، مجسم ديسفينويد متماثل، مجسم مربع مضاد متماثل، مجسم تاجي إكليلي، مجسم تاجي متضخم، هيبيسفينوميجا كورونا، ديسفينوسينجولوم بيلونبيروتوندا، ووهيبيسفينوروتوندا الثلاثي.^[٤] بقية مجسمات جونسون ليست أساسية، ويتم بناؤها باستخدام أول ستة مجسمات جونسون مع المجسمات البلانية والأرخيميدسية بعمليات مختلفة. تتضمن الزيادة ربط مجسمات جونسون بوجه واحد أو أكثر من المجسمات، بينما تتضمن الإطالة أو الإطالة الدورانية ربطها بأسس مكعب أو مضلع مضاد، على التوالي. يتم بناء بعض المجسمات الأخرى عن طريق التقليل، وهو إزالة أحد أول ستة مجسمات من واحد أو أكثر من وجوه المجسم.^[٥]

يحتوي الجدول التالي على 92 من مجسمات جونسون، مع طول حافة $a$ . يتضمن الجدول ترقيم المجسم (المشار إليه بـ $J_{n}$ ).قالب:Sfnp كما يتضمن عدد الرؤوس والحواف والوجوه لكل مجسم، بالإضافة إلى مجموعة التناظر، ومساحة السطح $A$ ، والحجم $V$ . لكل مجسم خصائصه الخاصة بما في ذلك التناظر والقياس. يُقال إن كائنًا ما له تناظر إذا كان هناك تحويل يطابقه بنفسه. يمكن تجميع جميع تلك التحويلات في مجموعة، جنبًا إلى جنب مع عدد عناصر المجموعة، المعروف باسم ترتيب المجموعة. في الفضاء ثنائي الأبعاد، تشمل هذه التحويلات الدوران حول مركز المضلع وانعكاس كائن حول الخط العمودي للمضلع. يُشار إلى المضلع الذي يتم تدويره بشكل متناظر بمقدار $\frac{36 0^{\circ}}{n}$ بـ $C_{n}$ ، وهو مجموعة دورانية من ترتيب $n$ ؛ يؤدي دمج هذا مع التناظر الانعكاسي إلى تناظر مجموعة ثنائية $D_{n}$ من ترتيب $2 n$ .^[٦] في نقاط تناظر ثلاثية الأبعاد، تشمل التحويلات التي تحافظ على تناظر المجسم دوران حول الخط الذي يمر عبر مركز القاعدة، المعروف باسم محور التناظر، والانعكاس بالنسبة للمستويات العمودية التي تمر عبر قسم القاعدة، والذي يعرف باسم التناظر الهرمي $C_{n v}$ من ترتيب $2 n$ . تُعرف التحويلة التي تحافظ على تناظر المجسّم بالانعكاس عبر مستوى أفقي باسم التناظر الهرمي $D_{n h}$ من ترتيب $4 n$ . يحافظ التناظر المضاد الهرمي $D_{n d}$ من ترتيب $4 n$ على التناظر عن طريق تدوير نصف القاعدة السفلية والانعكاس عبر المستوى الأفقي.

تحتفظ التناظرية بالتماثل من خلال تدوير نصفها السفلي والانعكاس عبر المستوى الأفقي. تُحافظ مجموعة التناظر $C_{n h}$ من الرتبة $2 n$ على التماثل من خلال الدوران حول محور التناظر والانعكاس على المستوى الأفقي؛ الحالة المحددة التي تحافظ على التماثل من خلال دوران كامل واحد هي $C_{1 h}$ من الرتبة 2، وغالبًا ما يُشار إليها بـ $C_{s}$ .^[٧] تشمل قياسات الأشكال المتعددة السطوح مساحة السطح والحجم. تُحسب المساحة كقياس ثنائي الأبعاد من خلال حاصل ضرب الطول والعرض؛ بالنسبة للمتعدد السطوح، مساحة السطح هي مجموع مساحات جميع وجوهه.قالب:Sfnp الحجم هو قياس لمنطقة في الفضاء ثلاثي الأبعاد.قالب:Sfnp يمكن تحديد حجم الشكل المتعدد السطوح بطرق مختلفة: إما من خلال قاعدته وارتفاعه (مثل الأهرامات والمنشورات)، أو عن طريق تقطيعه إلى قطع وجمع أحجامها الفردية، أو من خلال إيجاد جذر متعدد الحدود يمثل الشكل المتعدد السطوح.^[٨]

الأشكال الـ 92 لجونسون
$J_{n}$	اسم الشكل	الرؤوس	الحواف	الوجوه	مجموعة التناظر ورقمها الرتبة قالب:Sfnp	مساحة السطح والحجمقالب:Sfnp
1	هرم مربع متساوي الأضلاع	5	8	5	$C_{4 v}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (1 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 2.7321 a^{2} \\ V & = \frac{\sqrt{2}}{6} a^{3} \\ \approx 0.2357 a^{3} \end{matrix}$
2	هرم خماسي	6	10	6	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{a^{2}}{2} \sqrt{\frac{5}{2} (10 + \sqrt{5} + \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})} \\ \approx 3.8855 a^{2} \\ V & = (\frac{5 + \sqrt{5}}{24}) a^{3} \\ \approx 0.3015 a^{3} \end{matrix}$
3	قبة مثلثية	9	15	8	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = (3 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}) a^{2} \\ \approx 7.3301 a^{2} \\ V & = (\frac{5}{3 \sqrt{2}}) a^{3} \\ \approx 1.1785 a^{3} \end{matrix}$
4	قالب:Ill-WD2	12	20	10	$C_{4 v}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (7 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 11.5605 a^{2} \\ V & = (1 + \frac{2 \sqrt{2}}{3}) a^{3} \\ \approx 1.9428 a^{3} \end{matrix}$
5	Pentagonal cupola	15	25	12	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = (\frac{1}{4} (20 + 5 \sqrt{3} + \sqrt{5 (145 + 62 \sqrt{5})})) a^{2} \\ \approx 16.5798 a^{2} \\ V & = (\frac{1}{6} (5 + 4 \sqrt{5})) a^{3} \\ \approx 2.3241 a^{3} \end{matrix}$
6	Pentagonal rotunda	20	35	17	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = (\frac{1}{2} (5 \sqrt{3} + \sqrt{10 (65 + 29 \sqrt{5})})) a^{2} \\ \approx 22.3472 a^{2} \\ V & = (\frac{1}{12} (45 + 17 \sqrt{5})) a^{3} \\ \approx 6.9178 a^{3} \end{matrix}$
7	Elongated triangular pyramid	7	12	7	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = (3 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 4.7321 a^{2} \\ V & = (\frac{1}{12} (\sqrt{2} + 3 \sqrt{3})) a^{3} \\ \approx 0.5509 a^{3} \end{matrix}$
8	Elongated square pyramid	9	16	9	$C_{4 v}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (5 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 6.7321 a^{2} \\ V & = (1 + \frac{\sqrt{2}}{6}) a^{3} \\ \approx 1.2357 a^{3} \end{matrix}$
9	Elongated pentagonal pyramid	11	20	11	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{20 + 5 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}{4} a^{2} \\ \approx 8.8855 a^{2} \\ V & = (\frac{5 + \sqrt{5} + 6 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}}{24}) a^{3} \\ \approx 2.022 a^{3} \end{matrix}$
10	Gyroelongated square pyramid	9	20	13	$C_{4 v}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (1 + 3 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 6.1962 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (\sqrt{2} + 2 \sqrt{4 + 3 \sqrt{2}}) a^{3} \\ \approx 1.1927 a^{3} \end{matrix}$
11	Gyroelongated pentagonal pyramid	11	25	16	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (15 \sqrt{3} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 8.2157 a^{2} \\ V & = \frac{1}{24} (25 + 9 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 1.8802 a^{3} \end{matrix}$
12	Triangular bipyramid	5	9	6	$D_{3 h}$ من الرتبة 12	$\begin{matrix} A & = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^{2} \\ \approx 2.5981 a^{2} \\ V & = \frac{\sqrt{2}}{6} a^{3} \\ \approx 0.2358 a^{3} \end{matrix}$
13	قالب:Ill-WD2	7	15	10	$D_{5 h}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = \frac{5 \sqrt{3}}{2} a^{2} \\ \approx 4.3301 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} (5 + \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 0.603 a^{3} \end{matrix}$
14	Elongated triangular bipyramid	8	15	9	$D_{3 h}$ من الرتبة 12	$\begin{matrix} A & = \frac{3}{2} (2 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 5.5981 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} (2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) a^{3} \\ \approx 0.6687 a^{3} \end{matrix}$
15	Elongated square bipyramid	10	20	12	$D_{4 h}$ من الرتبة 16	$\begin{matrix} A & = 2 (2 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 7.4641 a^{2} \\ V & = \frac{1}{3} (3 + \sqrt{2}) a^{3} \\ \approx 1.4714 a^{3} \end{matrix}$
16	Elongated pentagonal bipyramid	12	25	15	$D_{5 h}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = \frac{5}{2} (2 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 9.3301 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} (5 + \sqrt{5} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{3} \\ \approx 2.3235 a^{3} \end{matrix}$
17	Gyroelongated square bipyramid	10	24	16	$D_{4 d}$ من الرتبة 16	$\begin{matrix} A & = 4 \sqrt{3} a^{2} \\ \approx 6.9282 a^{2} \\ V & = \frac{1}{3} (\sqrt{2} + \sqrt{4 + 3 \sqrt{2}}) a^{3} \\ \approx 1.4284 a^{3} \end{matrix}$
18	Elongated triangular cupola	15	27	14	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (18 + 5 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 13.3301 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (5 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}) a^{3} \\ \approx 3.7766 a^{3} \end{matrix}$
19	Elongated square cupola	20	36	18	$C_{4 v}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (15 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 19.5605 a^{2} \\ V & = (3 + \frac{8 \sqrt{2}}{3}) a^{3} \\ \approx 6.7712 a^{3} \end{matrix}$
20	Elongated pentagonal cupola	25	45	22	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (60 + 5 \sqrt{3} + 10 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 26.5798 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (5 + 4 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{3} \\ \approx 10.0183 a^{3} \end{matrix}$
21	Elongated pentagonal rotunda	30	55	27	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} a^{2} (20 + 5 \sqrt{3} + 5 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \\ \approx 32.3472 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} a^{3} (45 + 17 \sqrt{5} + 30 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) \\ \approx 14.612 a^{3} \end{matrix}$
22	Gyroelongated triangular cupola	15	33	20	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (6 + 11 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 12.5263 a^{2} \\ V & = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{61}{2} + 18 \sqrt{3} + 30 \sqrt{1 + \sqrt{3}}} a^{3} \\ \approx 3.5161 a^{3} \end{matrix}$
23	Gyroelongated square cupola	20	44	26	$C_{4 v}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (7 + 2 \sqrt{2} + 5 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 18.4887 a^{2} \\ V & = (1 + \frac{2}{3} \sqrt{2} + \frac{2}{3} \sqrt{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{146 + 103 \sqrt{2}}}) a^{3} \\ \approx 6.2108 a^{3} \end{matrix}$
24	Gyroelongated pentagonal cupola	25	55	32	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (20 + 25 \sqrt{3} + 10 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 25.2400 a^{2} \\ V & = (\frac{5}{6} + \frac{2}{3} \sqrt{5} + \frac{5}{6} \sqrt{2 \sqrt{650 + 290 \sqrt{5}} - 2 \sqrt{5} - 2}) a^{3} \\ \approx 9.0733 a^{3} \end{matrix}$
25	Gyroelongated pentagonal rotunda	30	65	37	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (15 \sqrt{3} + (5 + 3 \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{2} \\ \approx 31.0075 a^{2} \\ V & = (\frac{45}{12} + \frac{17}{12} \sqrt{5} + \frac{5}{6} \sqrt{2 \sqrt{650 + 290 \sqrt{5}} - 2 \sqrt{5} - 2}) a^{3} \\ \approx 13.6671 a^{3} \end{matrix}$
26	Gyrobifastigium	8	14	8	$D_{2 d}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (4 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 5.7321 a^{2} \\ V & = (\frac{\sqrt{3}}{2}) a^{3} \\ \approx 0.866 a^{3} \end{matrix}$
27	Triangular orthobicupola	12	24	14	$D_{3 h}$ من الرتبة 12	$\begin{matrix} A & = 2 (3 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 9.4641 a^{2} \\ V & = \frac{5 \sqrt{2}}{3} a^{3} \\ \approx 2.357 a^{3} \end{matrix}$
28	Square orthobicupola	16	32	18	$D_{4 h}$ من الرتبة 16	$\begin{matrix} A & = 2 (5 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 13.4641 a^{2} \\ V & = (2 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}) a^{3} \\ \approx 3.8856 a^{3} \end{matrix}$
29	Square gyrobicupola	16	32	18	$D_{4 d}$ من الرتبة 16	$\begin{matrix} A & = 2 (5 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 13.4641 a^{2} \\ V & = (2 + \frac{4 \sqrt{2}}{3}) a^{3} \\ \approx 3.8856 a^{3} \end{matrix}$
30	Pentagonal orthobicupola	20	40	22	$D_{5 h}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = (10 + \sqrt{\frac{5}{2} (10 + \sqrt{5} + \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 17.7711 a^{2} \\ V & = \frac{1}{3} (5 + 4 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 4.6481 a^{3} \end{matrix}$
31	Pentagonal gyrobicupola	20	40	22	$D_{5 d}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = (10 + \sqrt{\frac{5}{2} (10 + \sqrt{5} + \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 17.7711 a^{2} \\ V & = \frac{1}{3} (5 + 4 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 4.6481 a^{3} \end{matrix}$
32	Pentagonal orthocupolarotunda	25	50	27	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = (5 + \frac{1}{4} \sqrt{1900 + 490 \sqrt{5} + 210 \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}}}) a^{2} \\ \approx 23.5385 a^{2} \\ V & = \frac{5}{12} (11 + 5 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 9.2418 a^{3} \end{matrix}$
33	Pentagonal gyrocupolarotunda	25	50	27	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = (5 + \frac{15}{4} \sqrt{3} + \frac{7}{4} \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}) a^{2} \\ \approx 23.5385 a^{2} \\ V & = \frac{5}{12} (11 + 5 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 9.2418 a^{3} \end{matrix}$
34	Pentagonal orthobirotunda	30	60	32	$D_{5 h}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = ((5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 29.306 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (45 + 17 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 13.8355 a^{3} \end{matrix}$
35	Elongated triangular orthobicupola	18	36	20	$D_{3 h}$ من الرتبة 12	$\begin{matrix} A & = 2 (6 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 15.4641 a^{2} \\ V & = (\frac{5 \sqrt{2}}{3} + \frac{3 \sqrt{3}}{2}) a^{3} \\ \approx 4.9551 a^{3} \end{matrix}$
36	Elongated triangular gyrobicupola	18	36	20	$D_{3 d}$ من الرتبة 12	$\begin{matrix} A & = 2 (6 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 15.4641 a^{2} \\ V & = (\frac{5 \sqrt{2}}{3} + \frac{3 \sqrt{3}}{2}) a^{3} \\ \approx 4.9551 a^{3} \end{matrix}$
37	Elongated square gyrobicupola	24	48	26	$D_{4 d}$ من الرتبة 16	$\begin{matrix} A & = 2 (9 + \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 21.4641 a^{2} \\ V & = (4 + \frac{10 \sqrt{2}}{3}) a^{3} \\ \approx 8.714 a^{3} \end{matrix}$
38	Elongated pentagonal orthobicupola	30	60	32	$D_{5 h}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = (20 + \sqrt{\frac{5}{2} (10 + \sqrt{5} + \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 27.7711 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (10 + 8 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{3} \\ \approx 12.3423 a^{3} \end{matrix}$
39	Elongated pentagonal gyrobicupola	30	60	32	$D_{5 d}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = (20 + \sqrt{\frac{5}{2} (10 + \sqrt{5} + \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 27.7711 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (10 + 8 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{3} \\ \approx 12.3423 a^{3} \end{matrix}$
40	Elongated pentagonal orthocupolarotunda	35	70	37	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (60 + \sqrt{10 (190 + 49 \sqrt{5} + 21 \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 33.5385 a^{2} \\ V & = \frac{5}{12} (11 + 5 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{3} \\ \approx 16.936 a^{3} \end{matrix}$
41	Elongated pentagonal gyrocupolarotunda	35	70	37	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (60 + \sqrt{10 (190 + 49 \sqrt{5} + 21 \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 33.5385 a^{2} \\ V & = \frac{5}{12} (11 + 5 \sqrt{5} + 6 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{3} \\ \approx 16.936 a^{3} \end{matrix}$
42	Elongated pentagonal orthobirotunda	40	80	42	$D_{5 h}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = (10 + \sqrt{30 (10 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 39.306 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (45 + 17 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{3} \\ \approx 21.5297 a^{3} \end{matrix}$
43	Elongated pentagonal gyrobirotunda	40	80	42	$D_{5 d}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = (10 + \sqrt{30 (10 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{75 + 30 \sqrt{5}})}) a^{2} \\ \approx 39.306 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (45 + 17 \sqrt{5} + 15 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) a^{3} \\ \approx 21.5297 a^{3} \end{matrix}$
44	Gyroelongated triangular bicupola	18	42	26	$D_{3}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = (6 + 5 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 14.6603 a^{2} \\ V & = \sqrt{2} (\frac{5}{3} + \sqrt{1 + \sqrt{3}}) a^{3} \\ \approx 4.6946 a^{3} \end{matrix}$
45	Gyroelongated square bicupola	24	56	34	$D_{4}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (10 + 6 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 20.3923 a^{2} \\ V & = (2 + \frac{4}{3} \sqrt{2} + \frac{2}{3} \sqrt{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{146 + 103 \sqrt{2}}}) a^{3} \\ \approx 8.1536 a^{3} \end{matrix}$
46	Gyroelongated pentagonal bicupola	30	70	42	$D_{5}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (20 + 15 \sqrt{3} + \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}) a^{2} \\ \approx 26.4313 a^{2} \\ V & = (\frac{5}{3} + \frac{4}{3} \sqrt{5} + \frac{5}{6} \sqrt{2 \sqrt{650 + 290 \sqrt{5}} - 2 \sqrt{5} - 2}) a^{3} \\ \approx 11.3974 a^{3} \end{matrix}$
47	Gyroelongated pentagonal cupolarotunda	35	80	47	$C_{5}$ من الرتبة 5	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (20 + 35 \sqrt{3} + 7 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}) a^{2} \\ \approx 32.1988 a^{2} \\ V & = (\frac{55}{12} + \frac{25}{12} \sqrt{5} + \frac{5}{6} \sqrt{2 \sqrt{650 + 290 \sqrt{5}} - 2 \sqrt{5} - 2}) a^{3} \\ \approx 15.9911 a^{3} \end{matrix}$
48	Gyroelongated pentagonal birotunda	40	90	52	$D_{5}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = (10 \sqrt{3} + 3 \sqrt{25 + 10 \sqrt{5}}) a^{2} \\ \approx 37.9662 a^{2} \\ V & = (\frac{45}{6} + \frac{17}{6} \sqrt{5} + \frac{5}{6} \sqrt{2 \sqrt{650 + 290 \sqrt{5}} - 2 \sqrt{5} - 2}) a^{3} \\ \approx 20.5848 a^{3} \end{matrix}$
49	Augmented triangular prism	7	13	8	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (4 + 3 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 4.5981 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} (2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) a^{3} \\ \approx 0.6687 a^{3} \end{matrix}$
50	Biaugmented triangular prism	8	17	11	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (2 + 5 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 5.3301 a^{2} \\ V & = \sqrt{\frac{59}{144} + \frac{1}{\sqrt{6}}} a^{3} \\ \approx 0.9044 a^{3} \end{matrix}$
51	Triaugmented triangular prism	9	21	14	$D_{3 h}$ من الرتبة 12	$\begin{matrix} A & = \frac{7 \sqrt{3}}{2} a^{2} \\ \approx 6.0622 a^{2} \\ V & = \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{3}}{4} a^{3} \\ \approx 1.1401 a^{3} \end{matrix}$
52	Augmented pentagonal prism	11	19	10	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (8 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 9.173 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} \sqrt{233 + 90 \sqrt{5} + 12 \sqrt{50 + 20 \sqrt{5}}} a^{3} \\ \approx 1.9562 a^{3} \end{matrix}$
53	Biaugmented pentagonal prism	12	23	13	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} a^{2} (6 + 4 \sqrt{3} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \\ \approx 9.9051 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} a^{3} \sqrt{257 + 90 \sqrt{5} + 24 \sqrt{50 + 20 \sqrt{5}}} \\ \approx 2.1919 a^{3} \end{matrix}$
54	Augmented hexagonal prism	13	22	11	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = (5 + 4 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 11.9282 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (\sqrt{2} + 9 \sqrt{3}) a^{3} \\ \approx 2.8338 a^{3} \end{matrix}$
55	Parabiaugmented hexagonal prism	14	26	14	$D_{2 h}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (4 + 5 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 12.6603 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (2 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}) a^{3} \\ \approx 3.0695 a^{3} \end{matrix}$
56	Metabiaugmented hexagonal prism	14	26	14	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = (4 + 5 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 12.6603 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (2 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}) a^{3} \\ \approx 3.0695 a^{3} \end{matrix}$
57	Triaugmented hexagonal prism	15	30	17	$D_{3 h}$ من الرتبة 12	$\begin{matrix} A & = 3 (1 + 2 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 13.3923 a^{2} \\ V & = (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{3 \sqrt{3}}{2}) a^{3} \\ \approx 3.3052 a^{3} \end{matrix}$
58	Augmented dodecahedron	21	35	16	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (5 \sqrt{3} + 11 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 21.0903 a^{2} \\ V & = \frac{1}{24} (95 + 43 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 7.9646 a^{3} \end{matrix}$
59	Parabiaugmented dodecahedron	22	40	20	$D_{5 d}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = \frac{5}{2} (\sqrt{3} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 21.5349 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (25 + 11 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 8.2661 a^{3} \end{matrix}$
60	Metabiaugmented dodecahedron	22	40	20	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{5}{2} (\sqrt{3} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 21.5349 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (25 + 11 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 8.2661 a^{3} \end{matrix}$
61	Triaugmented dodecahedron	23	45	24	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{3}{4} (5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 21.9795 a^{2} \\ V & = \frac{5}{8} (7 + 3 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 8.5676 a^{3} \end{matrix}$
62	Metabidiminished icosahedron	10	20	12	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (5 \sqrt{3} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 7.7711 a^{2} \\ V & = \frac{1}{6} (5 + 2 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 1.5787 a^{3} \end{matrix}$
63	Tridiminished icosahedron	9	15	8	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 7.3265 a^{2} \\ V & = (\frac{5}{8} + \frac{7 \sqrt{5}}{24}) a^{3} \\ \approx 1.2772 a^{3} \end{matrix}$
64	Augmented tridiminished icosahedron	10	18	10	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (7 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 8.1925 a^{2} \\ V & = \frac{1}{24} (15 + 2 \sqrt{2} + 7 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 1.395 a^{3} \end{matrix}$
65	Augmented truncated tetrahedron	15	27	14	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (6 + 13 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 14.2583 a^{2} \\ V & = \frac{11}{2 \sqrt{2}} a^{3} \\ \approx 3.8891 a^{3} \end{matrix}$
66	Augmented truncated cube	28	48	22	$C_{4 v}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (15 + 10 \sqrt{2} + 3 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 34.3383 a^{2} \\ V & = (8 + \frac{16 \sqrt{2}}{3}) a^{3} \\ \approx 15.5425 a^{3} \end{matrix}$
67	Biaugmented truncated cube	32	60	30	$D_{4 h}$ من الرتبة 16	$\begin{matrix} A & = 2 (9 + 4 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 36.2419 a^{2} \\ V & = (9 + 6 \sqrt{2}) a^{3} \\ \approx 17.4853 a^{3} \end{matrix}$
68	Augmented truncated dodecahedron	65	105	42	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (20 + 25 \sqrt{3} + 110 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 102.1821 a^{2} \\ V & = (\frac{505}{12} + \frac{81 \sqrt{5}}{4}) a^{3} \\ \approx 87.3637 a^{3} \end{matrix}$
69	Parabiaugmented truncated dodecahedron	70	120	52	$D_{5 d}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (20 + 15 \sqrt{3} + 50 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 103.3734 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} (515 + 251 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 89.6878 a^{3} \end{matrix}$
70	Metabiaugmented truncated dodecahedron	70	120	52	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{2} (20 + 15 \sqrt{3} + 50 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 103.3734 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} (515 + 251 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 89.6878 a^{3} \end{matrix}$
71	Triaugmented truncated dodecahedron	75	135	62	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (60 + 35 \sqrt{3} + 90 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 104.5648 a^{2} \\ V & = \frac{7}{12} (75 + 37 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 92.0118 a^{3} \end{matrix}$
72	Gyrate rhombicosidodecahedron	60	120	62	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = (30 + 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 59.306 a^{2} \\ V & = (20 + \frac{29 \sqrt{5}}{3}) a^{3} \\ \approx 41.6153 a^{3} \end{matrix}$
73	Parabigyrate rhombicosidodecahedron	60	120	62	$D_{5 d}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = (30 + 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 59.306 a^{2} \\ V & = (20 + \frac{29 \sqrt{5}}{3}) a^{3} \\ \approx 41.6153 a^{3} \end{matrix}$
74	Metabigyrate rhombicosidodecahedron	60	120	62	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = (30 + 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 59.306 a^{2} \\ V & = (20 + \frac{29 \sqrt{5}}{3}) a^{3} \\ \approx 41.6153 a^{3} \end{matrix}$
75	Trigyrate rhombicosidodecahedron	60	120	62	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = (30 + 5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 59.306 a^{2} \\ V & = (20 + \frac{29 \sqrt{5}}{3}) a^{3} \\ \approx 41.6153 a^{3} \end{matrix}$
76	Diminished rhombicosidodecahedron	55	105	52	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (100 + 15 \sqrt{3} + 10 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + 11 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 58.1147 a^{2} \\ V & = (\frac{115}{6} + 9 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 39.2913 a^{3} \end{matrix}$
77	Paragyrate diminished rhombicosidodecahedron	55	105	52	$C_{5 v}$ من الرتبة 10	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (100 + 15 \sqrt{3} + 10 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + 11 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 58.1147 a^{2} \\ V & = (\frac{115}{6} + 9 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 39.2913 a^{3} \end{matrix}$
78	Metagyrate diminished rhombicosidodecahedron	55	105	52	$C_{s}$ من الرتبة 2	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (100 + 15 \sqrt{3} + 10 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + 11 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 58.1147 a^{2} \\ V & = (\frac{115}{6} + 9 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 39.2913 a^{3} \end{matrix}$
79	Bigyrate diminished rhombicosidodecahedron	55	105	52	$C_{s}$ من الرتبة 2	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (100 + 15 \sqrt{3} + 10 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + 11 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 58.1147 a^{2} \\ V & = (\frac{115}{6} + 9 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 39.2913 a^{3} \end{matrix}$
80	Parabidiminished rhombicosidodecahedron	50	90	42	$D_{5 d}$ من الرتبة 20	$\begin{matrix} A & = \frac{5}{2} (8 + \sqrt{3} + 2 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 56.9233 a^{2} \\ V & = \frac{5}{3} (11 + 5 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 36.9672 a^{3} \end{matrix}$
81	Metabidiminished rhombicosidodecahedron	50	90	42	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{5}{2} (8 + \sqrt{3} + 2 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 56.9233 a^{2} \\ V & = \frac{5}{3} (11 + 5 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 36.9672 a^{3} \end{matrix}$
82	Gyrate bidiminished rhombicosidodecahedron	50	90	42	$C_{s}$ من الرتبة 2	$\begin{matrix} A & = \frac{5}{2} (8 + \sqrt{3} + 2 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 56.9233 a^{2} \\ V & = \frac{5}{3} (11 + 5 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 36.9672 a^{3} \end{matrix}$
83	Tridiminished rhombicosidodecahedron	45	75	32	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (60 + 5 \sqrt{3} + 30 \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + 9 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 55.732 a^{2} \\ V & = (\frac{35}{2} + \frac{23 \sqrt{5}}{3}) a^{3} \\ \approx 34.6432 a^{3} \end{matrix}$
84	Snub disphenoid	8	18	12	$D_{2 d}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = 3 \sqrt{3} a^{2} \\ \approx 5.1962 a^{2} \\ V & \approx 0.8595 a^{3} \end{matrix}$
85	Snub square antiprism	16	40	26	$D_{4 d}$ من الرتبة 16	$\begin{matrix} A & = 2 (1 + 3 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 12.3923 a^{2} \\ V & \approx 3.6012 a^{3} \end{matrix}$
86	Sphenocorona	10	22	14	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = (2 + 3 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 7.1962 a^{2} \\ V & = \frac{1}{2} a^{3} \sqrt{1 + 3 \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{13 + 3 \sqrt{6}}} \\ \approx 1.5154 a^{3} \end{matrix}$
87	Augmented sphenocorona	11	26	17	$C_{s}$ من الرتبة 2	$\begin{matrix} A & = (1 + 4 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 7.9282 a^{2} \\ V & = \frac{1}{2} a^{3} \sqrt{1 + 3 \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{13 + 3 \sqrt{6}}} + \frac{1}{3 \sqrt{2}} \\ \approx 1.7511 a^{3} \end{matrix}$
88	Sphenomegacorona	12	28	18	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = 2 (1 + 2 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 8.9282 a^{2} \\ V & \approx 1.9481 a^{3} \end{matrix}$
89	Hebesphenomegacorona	14	33	21	$C_{2 v}$ من الرتبة 4	$\begin{matrix} A & = \frac{3}{2} (2 + 3 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 10.7942 a^{2} \\ V & \approx 2.9129 a^{3} \end{matrix}$
90	Disphenocingulum	16	38	24	$D_{2 d}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (4 + 5 \sqrt{3}) a^{2} \\ \approx 12.6603 a^{2} \\ V & \approx 3.7776 a^{3} \end{matrix}$
91	Bilunabirotunda	14	26	14	$D_{2 h}$ من الرتبة 8	$\begin{matrix} A & = (2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 12.346 a^{2} \\ V & = \frac{1}{12} (17 + 9 \sqrt{5}) a^{3} \\ \approx 3.0937 a^{3} \end{matrix}$
92	Triangular hebesphenorotunda	18	36	20	$C_{3 v}$ من الرتبة 6	$\begin{matrix} A & = \frac{1}{4} (12 + 19 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) a^{2} \\ \approx 16.3887 a^{2} \\ V & = (\frac{5}{2} + \frac{7 \sqrt{5}}{6}) a^{3} \\ \approx 5.1087 a^{3} \end{matrix}$