عرض مصدر قائمة النهايات

هذه الصفحة تنطوي على عدد من [[نهاية دالة|نهايات]] بعض [[دالة|الدوال الرياضية]] الشائعة. مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.
== نهاية الدوال بوجه عام ==

إذا كان <math>\lim_{x \to c} f(x) = L_1</math> و <math>\lim_{x \to c} g(x) = L_2</math> ، فإن:

::<math>\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2</math>

::<math>\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2</math>

::<math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2} \qquad \text{ if } L_2 \ne 0</math>

::<math>\lim_{x \to c} \, f(x)^n = L_1^n </math> إذا كان n عدد صحيح موجب.

::<math>\lim_{x \to c} \, f(x)^{1 \over n} = L_1^{1 \over n}</math> إذا كان n عدد صحيح موجب، وإذا كان a عدد زوجي، فإن <math>L_1 > 0</math> .

:<math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} \qquad \text{ if } \lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0 \text{ or } \lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty</math> ([[قاعدة لوبيتال]])

:<math>\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)</math>

:<math>\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)</math>

:<math>\lim_{h \to 0}{ \left({f(x(1+h))\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)</math>

== نهاية بعض الدوال الخاصة ==

: <math>\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math>

: <math>\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}</math>

: <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>

: <math> \lim\limits_{n \to \infty}2^n\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2-\cdots\sqrt{2}}}}}_{n-1}=\pi </math>

== نهايات بعض الدوال الأولية ==

:<math>\lim_{x \to c} a = a</math>

:<math>\lim_{x \to c} x = c</math>

:<math>\lim_{x \to c} ax + b = ac + b</math>

:<math>\lim_{x \to c} x^r = c^r </math> ، إذا كان r عدد صحيح موجب.

:<math>\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty</math>

:<math>\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = </math>

::<math>-\infty</math> إذا كان r عدد فردي
::<math>+\infty</math> إذا كان r عدد زوجي

== نهايات [[دالة أسية|الدوال الأسية]] ==

=== دوال من الشكل ''a<sup>g(x)</sup>'' ===
:<math>\lim_{x \to c} e^{x} = e^c </math>، بسبب إستمرارية<math>e^{x} </math>.
:<math>\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & 0 < a < 1 \end{cases}</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\begin{cases} 0, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ \infty, & 0 < a < 1 \end{cases}</math><ref name=":3">{{استشهاد ويب|مسار= http://www.sosmath.com/calculus/sequence/specialim/specialim.html|عنوان=Some Special Limits|موقع=www.sosmath.com|تاريخ الوصول=2019-07-31|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20190514140023/http://sosmath.com/calculus/sequence/specialim/specialim.html|تاريخ أرشيف=2019-05-14}}</ref>
:<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\lim_{x\to\infty}{a}^{1/x}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0 \\ \text{does not exist}, & a < 0 \end{cases}</math>

=== دوال من الشكل ''x<sup>g(x)</sup>'' ===
:<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{x}=\lim_{x\to\infty}{x}^{1/x}=1</math>

=== دوال من الشكل ''f(x)<sup>g(x)</sup>'' ===
* <math>\lim_{x\to+\infty} \left( \frac{x}{x+k}\right)^x=e^{-k}</math><ref name=":1">{{استشهاد ويب|مسار= https://www.symbolab.com/cheat-sheets/Limits#|عنوان=Limits Cheat Sheet - Symbolab|موقع=www.symbolab.com|لغة=en|تاريخ الوصول=2019-07-31|مسار أرشيف= https://archive.today/20220515220653/https://www.symbolab.com/cheat-sheets/Limits%23|تاريخ أرشيف=2022-05-15}}</ref>
* <math>\lim_{x\to 0} \left(1+x\right)^\frac{1}{x}=e</math><ref name=":1" />
* <math>\lim_{x\to 0} \left(1+kx\right)^\frac{m}{x}=e^{mk}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math><ref name=":2">{{استشهاد ويب|مسار=https://www.pioneermathematics.com/some-important-limits-formula.html|عنوان=SOME IMPORTANT LIMITS - Math Formulas - Mathematics Formulas - Basic Math Formulas|موقع=www.pioneermathematics.com|تاريخ الوصول=2019-07-31}}</ref>
* <math>\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk} </math><ref>{{استشهاد ويب| مسار=http://www.sosmath.com/calculus/sequence/specialim/specialim.html|عنوان=Some Special Limits|موقع=www.sosmath.com|تاريخ الوصول=2019-07-31}}</ref>
* <math> \lim_{x \to 0} \left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)^{-\frac{1}{x}} = e^{a} </math>. This limit can be derived from [[#Logarithmic and exponential functions Anchor01|this limit]].

== نهايات [[لوغاريتم|الدوال اللوغاريتمية]] ==

=== اللوغاريتم الطبيعي ===
:<math>\lim_{x \to c} \ln{x} = \ln c </math>, بسبب استمرارية <math>\ln {x} </math>، على وجه الخصوص.
::<math>\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty</math>
::<math>\lim_{x\to\infty}\log x=\infty</math>
:<math>\lim_{x\to1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1</math>
:<math>\lim_{x\to0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1</math><ref name=":2" />
:<math> \lim_{x \to 0} \frac{-\ln\left(1+ a \left({e^{-x} - 1}\right)\right)}{x} = a</math>. تتبع هذه النهاية [[قاعدة لوبيتال]].
:<math>\lim_{x \to 0^+} x\ln x = 0</math>
:<math>\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0</math><ref name=":3" />

=== لوغاريتمات ذات أساسات إختيارية ===
* من أجل {{تعبير رياضي|a>1}} :
:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty</math>
:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty</math>
* من أجل {{تعبير رياضي|a<1}} :
:<math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x = \infty</math>
:<math>\lim_{x \to \infty} \log_a x = -\infty</math>

== نهايات [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]] ==

:<math>\lim_{x \to a} \sin x = \sin a</math>

:<math>\lim_{x \to a} \cos x = \cos a</math>

هذه النهايات تتبع كلا من استمرارية الجيب وجيب التمام.

:<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math> ، أو بشكل عام:
::<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1</math> ، من أجل ''a'' ≠ 0.
::<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a</math>
::<math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b}</math> ، من أجل ''b'' ≠ 0.

:<math>\lim_{x \to \infty} x\sin \left(\frac1x\right) = 1</math>

:<math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0</math>

:<math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}</math>

:<math>\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty </math> من أجل كل عدد صحيح n.
بسبب [[دالة دورية|دورية]] الدوال المثلثية، ليس لديها نهاية عند {{تعبير رياضي|±∞}}.

== النهايات عندما تؤول (x) إلى [[لانهاية|مالانهاية]] ==

:<math>\lim_{x\to\infty}N/x=0 \text{ for any real }N </math>
:<math>\lim_{x\to\infty}x/N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ \text{does not exist}, & N = 0 \\ -\infty, & N < 0 \end{cases}</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}x^N=\begin{cases} \infty, & N > 0 \\ 1, & N = 0 \\ 0, & N < 0 \end{cases}</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}N^x=\begin{cases} \infty, & N > 1 \\ 1, & N = 1 \\ 0, & -1 < N < 1 \end{cases}</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}N^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/N^{x}=0 \text{ for any } N > 1</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{N}=\begin{cases} 1, & N > 0 \\ 0, & N = 0 \\ \text{does not exist}, & N < 0 \end{cases}</math>
:<math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[N]{x}= \infty \text{ for any } N > 0 </math>
:<math>\lim_{x\to\infty}\log x=\infty</math>
:<math>\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty</math>

== انظر ==
[[قائمة التكاملات]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{مواضيع حسابات التفاضل والتكامل}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

[[تصنيف:دوال]]
[[تصنيف:قوائم متعلقة بالرياضيات]]
[[تصنيف:نهايات (رياضيات)]]