عرض مصدر صيغة مشابهة لصيغة ماشن

[[ملف:Machin’s Formula.png|تصغير|200بك|يسار]]
في [[رياضيات|الرياضيات]]، '''الصيغ المشابهة لصيغة ماشن''' هي صنف خاص من المتطابقات المحتوية على [[ط (رياضيات)|π]] = 3.14159...<ref>{{Note autre projet|Wikiversité|Trigonométrie/Exercices/Relations élémentaires#Exercice 2-1|cet exercice corrigé|début=Voir par exemple}}</ref><ref>{{استشهاد بكتاب|الأخير1=Beckmann|الأول1=Petr|عنوان=A History Of Pi|تاريخ=1971|ناشر=The Golem Press|مكان=USA|isbn=0-88029-418-3|صفحة=[https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck/page/102 102]|مسار=https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck/page/102| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20191216012416/https://archive.org/details/historyofpisymbo00beck/page/102 | تاريخ أرشيف = 16 ديسمبر 2019 }}</ref> والتي تعمم صيغة [[جون ماكن|جون ماشن]]. يعود تاريخ هاته الصيغة إلى عام 1706.

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239},</math>

للصيغ المشابهة لصيغة ماشن الشكل التالي :
:<math>\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n}</math>
حيث <math>a_n</math> و <math>b_n</math> [[عدد صحيح|أعداد صحيحة]].

==الاستنتاج==

نظرا إلى [[قائمة المطابقات المثلثية]]، يُحصل على المتطابقتين التاليتين :

:<math>\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta</math>
:<math>\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta</math>

بوضع :
:<math>\sin(\alpha) = a_1</math> ،<math>\sin(\beta) = a_2</math>
:<math>\cos(\alpha) = b_1</math> ،<math>\cos(\beta) = b_2</math>
نجد أن:
{{NumBlk|:|<math>\arctan \frac{a_1}{b_1} + \arctan \frac{a_2}{b_2} = \arctan\frac{a_1 b_2 + a_2 b_1}{b_1 b_2 - a_1 a_2},</math>|{{EquationRef|3}}}}

إذا توفر ما يلي :
<math> -\frac{\pi}{2} < \arctan \frac{a_1}{b_1} + \arctan \frac{a_2}{b_2} < \frac{\pi}{2}.</math>

:<math>2 \arctan \frac{1}{5}</math>

::<math>= \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{1}{5}</math>

::<math>= \arctan \frac {1*5 + 1*5}{5*5 - 1*1}</math>

::<math>= \arctan \frac {10}{24}</math>

::<math>= \arctan \frac {5}{12}</math>

:<math>4 \arctan \frac{1}{5}</math>

::<math>= 2 \arctan \frac{1}{5} + 2 \arctan \frac{1}{5}</math>

::<math>= \arctan \frac{5}{12} + \arctan \frac{5}{12}</math>

::<math>= \arctan \frac{5*12 + 5*12}{12*12 - 5*5}</math>

::<math>= \arctan \frac{120}{119}</math>

:<math>4 \arctan \frac{1}{5} - \frac{\pi}{4}</math>

::<math>= 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{1}</math>

::<math>= 4 \arctan \frac{1}{5} + \arctan \frac{-1}{1}</math>

::<math>= \arctan \frac{120}{119} + \arctan \frac{-1}{1}</math>

::<math>= \arctan \frac{120*1 + (-1)*119}{119*1 - 120*(-1)}</math>

::<math>= \arctan \frac{1}{239}</math>

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}</math>

== مراجع ==

{{مراجع}}

{{شريط بوابات|نظرية الأعداد}}
{{بذرة رياضيات}}

[[تصنيف:خوارزميات π]]