عرض مصدر حلم الطالب الجامعي

[[ملف:Sophdream.png|تصغير|يسار|300px|التمثيل البياني للدالتين ''y''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>''x''</sup> و''y''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>−''x''</sup> على الفترة (0،1).]]

'''حلم الطالب الجامعي''' هو اسم [[مطابقة رياضية|المتطابقة]] الرياضية التي إكتشفها ال[[عالم رياضيات|رياضياتي]] ال[[سويسرا|سويسري]] [[يوهان برنولي|يوهان بيرنولي]].<ref>{{استشهاد ويب| مسار = http://mathworld.wolfram.com/SophomoresDream.html | عنوان = معلومات عن حلم الطالب الجامعي على موقع mathworld.wolfram.com | ناشر = mathworld.wolfram.com| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20190204211925/http://mathworld.wolfram.com/SophomoresDream.html | تاريخ أرشيف = 4 فبراير 2019 }}</ref> والتي تنص على أن.

:<math>\begin{align}
\int_0^1 x^{-x}\,dx &= \sum_{n=1}^\infty n^{-n}&&(= 1.291285997\dots)\\
\int_0^1 x^x   \,dx &= \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}n^{-n} = - \sum_{n=1}^\infty (-n)^{-n} &&(= 0.783430510712\dots)
\end{align}</math>

== البرهان ==

<div style="clear:both;width:99%;" class="NavFrame">
<div class="NavHead" style="background-color:#FFFAF0; text-align:right; font-size:larger;">برهنة حلم الطالب الجامعي</div>
<div class="NavContent" style="text-align:right;">
بما أن <math>x^x</math> يمكن كتابتها على هذا النحو

: <math>x^x = \exp(x \ln x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n(\ln x)^n}{n!}.</math>

وبأخذ [[تكامل]] الطرفين

: <math>\int_0^1 x^xdx = \sum_{n=0}^\infty \int_0^1 \frac{x^n(\ln x)^n}{n!} \, dx. </math>

وباستخدام [[تكامل بالتجزئة|التكامل بالتجزيء]] على <math>\scriptstyle \int x^m (\ln x)^n\; dx</math> بحيث ''u''&nbsp;=&nbsp;(ln&nbsp;''x'')<sup>''n''</sup> و''dv''&nbsp;=&nbsp;''x''<sup>''m''</sup>&nbsp;''dx''، نحصل على

: <math>\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^{m+1} \frac{(\ln x)^{n-1}}{x} dx  \qquad\mbox{(for }m\neq -1\mbox{)}</math>

راجع [[قائمة تكاملات الدوال اللوغاريتمية|قائمة تكاملات الدوال اللوغارتمية]].

وب[[استقراء رياضي|الإستقراء الرياضي]] نجد

: <math>
\int x^m (\ln x)^n\; dx
= \frac{x^{m+1}}{m+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(m+1)^i} (\ln x)^{n-i}</math>

حيث (''n'')<sub>&nbsp;''i''</sub> [[رمز بوشهامر|عاملي السقوط]].

وبما أن ''m''&nbsp;=&nbsp;''n'' [[عدد صحيح|عددان صحيحان]] ومتسوايان.فإذاً

:<math>\int x^n (\ln x)^n\; dx
= \frac{x^{n+1}}{n+1}
 \cdot \sum_{i=0}^n (-1)^i \frac{(n)_i}{(n+1)^i} (\ln x)^{n-i}.</math>

وبالتكامل من (0,1) تختفي لدينا الحدود عند 0 ويبقى الحد الذي عند 1 لإن
<math>\scriptstyle\lim_{x \to 0^+} x^m (\ln x)^n \, = \, 0</math> وفق [[قاعدة لوبيتال|قاعدة لوبتال]]، وبما أن ln(1)&nbsp;=&nbsp;0, نجد:

:<math>\int_0^1 \frac{x^n (\ln x)^n}{n!}\; dx
= \frac{1}{n!}\frac{1^{n+1}}{n+1}
 (-1)^n \frac{(n)_n}{(n+1)^n} = (-1)^n (n+1)^{-(n+1)}.</math>

وبايجاد المجموع (وبتبديل نقطة البداية إلى ''n''&nbsp;=&nbsp;1بدلا من ''n''&nbsp;=&nbsp;0) نحصل على النتيجة.

</div>
</div>

== انظر ==
[[حلم الطالب المبتدئ]]

== مراجع ==
{{مراجع}}
{{شريط بوابات|تحليل رياضي|رياضيات}}

{{بذرة تحليل رياضي}}

[[تصنيف:تكاملات]]
[[تصنيف:ثوابت رياضية]]