عرض مصدر جذع (رياضيات)

{{عن|3=جذع (توضيح)}}
{{بطاقة متعدد سطوح
| تناظر = [[زمرة التناظر#Three dimensions|C<sub>{{mvar|n}}v</sub>]], [1,{{mvar|n}}], (*{{mvar|nn}})
}}

في [[هندسة رياضية|الهندسة]]، '''جِذْع'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q108593221|ص=263}}</ref> أو '''مجسم ناقص'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q120333811|ص=158}}</ref> أو '''المنقوص'''<ref>{{استشهاد بويكي بيانات|Q123644307|ص=252}}</ref> {{لات|frustum}}{{ملا|الكلمة الإنجليزية "frustum" أصلها من [[اللغة اللاتينية]] ''[[wikt:en:frustum#Latin|frustum]]'' بمعنى "قطعة" أو "كسرة". أحيانا تكتب الكلمة الإنجليزية كـ ''{{كذا|hide=y|frus|trum}}'', وهي كلمة لاتينية أخرى قريبة للكلمة الإنجليزية "frustrate".<ref>{{استشهاد|عنوان=Teachers' Manual: Books I-VIII.. For Prang's complete course in form-study and drawing, Books 7–8|الأول=John Spencer|الأخير=Clark|ناشر=Prang Educational Company|سنة=1895|صفحة=49|مسار= https://books.google.com/books?id=83EBAAAAYAAJ&pg=PA49|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220325160433/https://books.google.com/books?id=83EBAAAAYAAJ&pg=PA49|تاريخ أرشيف=2022-03-25}}.</ref> هذا الخلط بين الكلمتين قديم جدا: فهناك تحذير منه يمكن قراءته في كتاب ''[[ملحق بروبس]]'', ومؤلفات [[بلاوتوس]] احتوت على تورية متعلقة بهم.<ref>{{استشهاد|عنوان=Funny Words in Plautine Comedy|الأول=Michael|الأخير=Fontaine|ناشر=Oxford University Press|سنة=2010|isbn=9780195341447|مسار= https://books.google.com/books?id=SFPUvjlSUIsC&pg=PA117|صفحات=117, 154|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20220507095520/https://books.google.com/books?id=SFPUvjlSUIsC&pg=PA117|تاريخ أرشيف=2022-05-07}}.</ref>}} هو جزء من [[عديد السطوح|مجسم]] (عادة [[هرم (هندسة)|هرم]] أو [[مخروط]]) يقطعه [[مستو (رياضيات)|مستوى]] واحد أو مستويين [[تواز (هندسة)|متوازيين]]. قاعدته الأساسية [[مضلع|مضلعة]]، وأوجهه الجانبية [[شبه منحرف|شبه منحرفة]]. '''الجذع القائم''' ('''right frustum''') أو '''الهرم الناقص''' هو [[هرم (هندسة)|هرم منتظم]] أو مخروط منتظم {{وإو|قطع (هندسة)|Truncation (geometry)|عر=قطع (هندسة)|نص=مقطوع}} عموديًا على محوره.<ref>William F. Kern, James R. Bland, ''Solid Mensuration with proofs'', 1938, p.&nbsp;67</ref>

إذا كانت كل حواف الجذع لها نفس الطول (''شكل متساوي الأضلاع'')، فهو [[منشور (هندسة)|منشور]] {{وإو|عديد السطوح شبه منتظم|Semiregular polyhedron|عر=عديد السطوح شبه منتظم|نص=منتظم}}.

{{وإو|جذع المشاهدة|Viewing frustum}} في [[رسوميات حاسوبية|الرسومات الحاسوبية]]، هو هرم {{وإو|قص (رسومات الحاسوب)|Clipping (computer graphics)|عر=قص (رسومات الحاسوب)|نص=مقطوع}} يمثل منطقة ثلاثية الأبعاد على الشاشة. طريقة استبعاد الجذع "''frustum culling''" من طرق {{وإو|تحديد السطح المخفي|Hidden-surface determination|عر=تحديد السطح المخفي|نص=تحديد السطح المخفي}}.

الجذع في [[مصنع الفضاء الجوي|صناعة الطيران]]، يكون على شكل مخروط مقطوع ويستخدم [[غطاء حمولة|كغطاء للحمولة]] بين مرحلتين في<nowiki/>[[صاروخ متعدد المراحل]] (مثل [[ساتورن 5]]).

[[ملف:Kegelstumpf.svg|تصغير|300بك|يسار|جذع]]

== العناصر والحالات الخاصة والمفاهيم المتعلقة بها ==
[[ملف:Square_frustum.png|تصغير|200x200بك| جذع مربع]]
[[ملف:Triangulated_monorectified_tetrahedron.png|تصغير|200x200بك| يمكن إنشاء "جذع مثلث" باستخدام [[ثماني سطوح|ثماني السطوح]] ]]
محور الجذع هو محور المخروط أو الهرم الأصلي. يكون الجذغ دائريًا إذا كانت قاعدته دائرية؛ ومنتظم إذا كان المحور عموديًا على كلتا القاعدتين، ومائل بخلاف ذلك.

ارتفاع الجذع هو المسافة العمودية بين مستوىات القاعدتين.

يمكن اعتبار المخروط والهرم حالات خاصة للجذع، حيث يمر أحد المستويات القاطعة عبر [[زاوية رأسية|القمة]] (حيث تُمَثَّلْ القاعدة هنا بنقطة تقاطع المستوى مع نقطة رأس الهرم أو المخروط)، الجذع الهرمي هي فئة فرعية من [[منشوريات|المنشورات]].

جذعان اثنان بقاعدتين [[تطابق (هندسة)|متطابقتين]] متصلتين يصنعان {{وإو|جذع ثنائي|Bifrustum}}.

== الصيغ الرياضية ==

=== الحجم ===
قدمت [[الرياضيات في مصر القديمة|الرياضيات المصرية القديمة]] معادلة حجم الجذع الهرمي في [[بردية موسكو الرياضية]]، المكتوبة في [[الأسرة المصرية الثالثة عشر|الأسرة الثالثة عشر]] ({{قرابة|1850 BC}}):

: <math>V = \frac{h}{3}\left(a^2 + ab + b^2\right),</math>

حيث {{Mvar|a}} هو طول ضلع القاعدة و{{Mvar|b}} هو طول ضلع السطح، و{{Mvar|h}} هو الارتفاع.

عرف المصريون الصيغة الصحيحة لحجم مثل هذا الهرم المربع المبتور، لكنها ظهرت بغير برهان في بردية موسكو.

[[حجم]] الجذع المخروطي أو الهرمي هو حجم الجسم قبل قطع «القمة»، مطروحًا منه حجم «القمة» المقطوعة هذه:

: <math>V = \frac{h_1 B_1 - h_2 B_2}{3},</math>

حيث {{تعبير رياضي|''B''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''B''<sub>2</sub>}} هما مساحتي القاعدة والسطح، و{{تعبير رياضي|''h''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''h''<sub>2</sub>}} هما الارتفاعات العمودية من القمة لمستويات القاعدة والسطح.

مع الأخذ في الاعتبار أن

: <math>\frac{B_1}{h_1^2} = \frac{B_2}{h_2^2} = \frac{\sqrt{B_1B_2}}{h_1h_2} = \alpha,</math>

يمكن التعبير عن صيغة الحجم على أنها ثلث جداء النسبة <math>\alpha</math> مع [[تحليل إلى عوامل|فرق مكعبات]] الارتفاعات {{تعبير رياضي|''h''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''h''<sub>2</sub>}} فقط:

: <math>V = \frac{h_1 \alpha h_1^2 - h_2 \alpha h_2^2}{3} = \alpha\frac{h_1^3 - h_2^3}{3}.</math>

باستخدام المتطابقة {{تعبير رياضي|1=''a''<sup>3</sup> − ''b''<sup>3</sup> = (''a'' − ''b'')(''a''<sup>2</sup> + ''ab'' + ''b''<sup>2</sup>)}} ، يحصل المرء على:

: <math>V = (h_1 - h_2)\alpha\frac{h_1^2 + h_1h_2 + h_2^2}{3},</math>

حيث {{تعبير رياضي|1=''h''<sub>1</sub> − ''h''<sub>2</sub> = ''h''}} هو ارتفاع الجذع.

بتوزيع <math>\alpha</math> والتعويض من تعريفها، نحصل على [[متوسط هيروني|المتوسط الهيروني]] للمساحات {{تعبير رياضي|''B''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''B''<sub>2</sub>}} :

: <math>\frac{B_1 + \sqrt{B_1B_2} + B_2}{3};</math>

لذا فإن الصيغة البديلة هي:

: <math>V = \frac{h}{3}\left(B_1 + \sqrt{B_1B_2} + B_2\right).</math>

اشتهر [[هيرو السكندري]] باشتقاقه لهذه الصيغة ومعها واجه [[وحدة تخيلية|الوحدة التخيلية]]: الجذر التربيعي لسالب واحد.<ref>Nahin, Paul.</ref>

للتحديد:

* حجم المخروط الدائري هو:

:: <math>V = \frac{\pi h}{3}\left(r_1^2 + r_1r_2 + r_2^2\right),</math>
: حيث {{تعبير رياضي|''r''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''r''<sub>2</sub>}} هما [[نصف القطر|نصف قطر]] القاعدة والسطح.

* حجم الجذع الهرمي الذي تكون قواعده عبارة عن {{Mvar|n}} -[[مضلع]] [[مضلع منتظم|منتظم]] (حيث n تمثل عدد الضلوع) هو:

:: <math>V = \frac{nh}{12}\left(a_1^2 + a_1a_2 + a_2^2\right)\cot\frac{\pi}{n},</math>
: حيث {{تعبير رياضي|''a''<sub>1</sub>}} و{{تعبير رياضي|''a''<sub>2</sub>}} هما طولا ضلعي القاعدة والسطح.
: [[ملف:Frustum_with_symbols.svg|بديل=Pyramidal frustum|يسار|224x224بك| frustum الهرمي]]

=== مساحة السطح ===
[[ملف:CroppedCone.svg|تصغير|جذع مخروطي]]
[[ملف:Tronco_cono_3D.stl|تصغير|نموذج ثلاثي الأبعاد لمجسم ناقص مخروطي الشكل.]]
للجذع المخروطي الدائرية المنتظم<ref>{{استشهاد بويب
| مسار = http://www.mathwords.com/f/frustum.htm
| عنوان = Mathwords.com: Frustum
| تاريخ الوصول = 17 July 2011
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20220203145555/http://www.mathwords.com/f/frustum.htm | تاريخ أرشيف = 3 فبراير 2022 }}</ref><ref>{{استشهاد بدورية محكمة
| DOI = 10.1080/10407782.2017.1372670
| الأول = Ahmed T.
| الأخير = Al-Sammarraie
| مؤلف2-الأول = Kambiz
| مؤلف2-الأخير = Vafai
| تاريخ = 2017
| عنوان = Heat transfer augmentation through convergence angles in a pipe
| صحيفة = Numerical Heat Transfer, Part A: Applications
| المجلد = 72
| العدد = 3
| صفحة = 197−214
}}</ref>

: <math>\begin{align}\text{Lateral surface area}&=\pi\left(r_1+r_2\right)s\\
&=\pi\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}\end{align}</math>

و

: <math>\begin{align}\text{Total surface area}&=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)s+r_1^2+r_2^2\right)\\
&=\pi\left(\left(r_1+r_2\right)\sqrt{\left(r_1-r_2\right)^2+h^2}+r_1^2+r_2^2\right)\end{align}</math>

حيث ''r'' <sub>1</sub> و''r'' <sub>2</sub> هما نصف قطر القاعدة والسطح على الترتيب، و''s'' هو الارتفاع المائل للجذع.

مساحة سطح الجذع المنتظم الذي له قواعد من مضلعات عادية متشابهة وعدد جوانبها ''n'' هي

: <math>A= \frac{n}{4}\left[\left(a_1^2+a_2^2\right)\cot \frac{\pi}{n} + \sqrt{\left(a_1^2-a_2^2\right)^2\sec^2 \frac{\pi}{n}+4 h^2\left(a_1+a_2\right)^2} \right]</math>

حيث ''a1'' وa2 هما ''جانبي'' القاعدتين.

== أمثلة ==
[[ملف:Rolo-Candies-US.jpg|تصغير|200x200بك| شوكولاتة ماركة {{وإو|رولو (شركة)|Rolo|عر=رولو (شركة)|نص=رولو}} لها تقريبا شكل جذع مخروطي دائري منتظم، على الرغم من أنها ليست مسطحة في الأعلى.]]

* على ظهر ورقة الدولار النقدية الأمريكية، يظهر جذع هرمي مقابل [[ختم الولايات المتحدة العظيم|لختم الولايات المتحدة العظيم]]، تعلوه [[عين العناية الإلهية]].
* [[مركز جون هانكوك]] في [[شيكاغو]]، [[إلينوي]] هو عبارة عن جذع وقواعده مستطيلة.
* [[نصب واشنطن]] هو جذع هرمي ضيق مربع الشكل يعلوه هرم صغير.
* في الترجمة [[اللغة الإنجليزية|الإنجليزية]] لمجموعة القصص القصيرة [[ستانيسواف لم|لسنانيسواف ليم]] ''The Cyberiad''، تدعي قصيدة ''الحب [[جبر الموترات|وجبر الموترات]]'' أن «كل جذع يتوق إلى أن يكون مخروطًا».
* [[دلو|الدلاء]] وأغطية [[عاكس الضوء|المصابيح]] النموذجية هي أمثلة يومية على الجذوع المخروطية.

== ملاحظات ==
{{ملاحظات}}

== مراجع ==
{{مراجع}}

== روابط خارجية ==
* [http://www.mathalino.com/reviewer/derivation-of-formulas/derivation-of-formula-for-volume-of-a-frustum اشتقاق صيغة لحجم جذع هرمي ومخروط] (Mathalino.com)
* {{MathWorld |urlname=PyramidalFrustum |title=Pyramidal frustum}}
* {{MathWorld |urlname=ConicalFrustum |title=Conical frustum}}
{{متعددات السطوح}}
{{روابط شقيقة}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}

[[تصنيف:متعددات الوجوه]]