عرض مصدر ارتفاع (مثلث)

{{تحديد}}{{عن|3=ارتفاع (توضيح)}}

[[ملف:Triangle.Orthocenter.svg|يسار|تصغير|تتقاطع الارتفاعات الثلاثة للمثلث عند [[المركز العمودي]]، الذي يكون داخل المثلث الحاد.]]

في [[هندسة رياضية|الهندسة الرياضية]]، '''ارتفاع''' المثلث هو [[قطعة مستقيمة|القطعة]] [[رأس (هندسة)|المستقيمة]] من رأس المثلث [[تعامد (هندسة)|وعمودية]] على (أي تشكل [[زاوية قائمة]] مع) خط يحتوي على القاعدة (الضلع المقابل لهذا الرأس). يسمى الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل للرأس ''بالقاعدة الممتدة'' لهذا الارتفاع. يُطلق على تقاطع القاعدة الممتدة والارتفاع اسم '' قدم الارتفاع''. طول الارتفاع، الذي يُطلق عليه- غالبًا ببساطة- «الارتفاع»، هو المسافة بين القاعدة الممتدة والرأس. تُعرف عملية رسم الارتفاع من الرأس إلى القدم ''بإسقاط الارتفاع''. إنها حالة خاصة من [[إسقاط (جبر خطي)|الإسقاط العمودي]].

يمكن استخدام الارتفاعات في حساب [[مساحة]] المثلث: نصف جداء الارتفاع وطول قاعدته يساوي مساحة المثلث. وبالتالي، فإن أطول ارتفاع يكون عموديًا على أقصر ضلع للمثلث. ترتبط الارتفاعات أيضًا بأضلاع المثلث بواسطة [[دوال مثلثية|الدوال المثلثية]].

في [[مثلث متساوي الساقين|المثلث المتساوي الساقين]] (مثلث له [[تطابق (هندسة)|ضلعان متطابقان]])، الارتفاع على الضلع غير المتطابق قدمه في نقطة منتصف القاعدة. ثم إن هذا الارتفاع ينصف زاوية الرأس.
[[ملف:Right_angle_altitude.svg|تصغير|ارتفاع المثلث القائم من الزاوية القائمة إلى الوتر هو المتوسط الهندسي لطول جزئي الوتر. باستخدام مبرهنة فيثاغورس على المثلثات الثلاثة التي لها الأضلاع {{بدون لف|(''p'' + ''q'', ''r'', ''s'' )}}و {{بدون لف|(''r'', ''p'', ''h'' )}} و{{بدون لف|(''s'', ''h'', ''q'' )}}, <math>\begin{align}
            (p + q)^2 \;\; &= \quad r^2 \;\;\, + \quad s^2 \\
 p^2 \!\!+\! 2pq \!+\! q^2 &= \overbrace{p^2 \!\!+\! h^2} + \overbrace{h^2 \!\!+\! q^2} \\
           2pq \quad\;\;\; &= 2h^2 \; \therefore h \!=\! \sqrt{pq} \\
\end{align}</math>]]
من الشائع إعطاء الارتفاع الرمز ''h'' (نسبةً إلى height)، وغالبًا ما يُلحق باسم الضلع العمودي عليه. في [[مثلث قائم|المثلث القائم الزاوية]]، الارتفاع المرسوم على الوتر ''c'' يقسم الوتر إلى جزأين ''p'' و ''q'' . إذا أشرنا إلى طول الارتفاع بـ ''h'' <sub>''c''</sub>، فسنحصل على العلاقة

: <math>h_c=\sqrt{pq} </math>&nbsp;( {{وإو|مبرهنة المتوسط الهندسي|Geometric mean theorem}} )
:

[[ملف:Rtriangle.svg|يسار|تصغير|في المثلث القائم، يتطابق الارتفاع من كل زاوية حادة مع ساق ويتقاطع مع الضلع المقابل عند (تكون قدمه عند) الرأس القائم، وهي المركز العمودي.]]
[[ملف:Orthocenter_of_obtuse_triangle.svg|تصغير|تقع الارتفاعات من كل زاوية من الزوايا الحادة لمثلث منفرج خارج المثلث تمامًا، والمركز العمودي أيضًا H.]]
في المثلثات الحادة، تقع أقدام الارتفاعات كلها على أضلاع المثلث (غير الممتدة). في المثلث المنفرج (الذي فيه [[زاوية (هندسة)|زاوية منفرجة]])، تقع قدم الارتفاع من الرأس المنفرجة الزاوية في الجزء الداخلي من الضلع المقابل، لكن قدمي الارتفاعين من الرأسين الحادين الزاوية تقعان على الضلعين الممتدين المقابلين؛ خارج المثلث. هذا موضح في الرسم البياني المجاور: في هذا المثلث المنفرج، يسقط ارتفاع من الرأس العلوي، ذي الزاوية الحادة، ويتقاطع مع الضلع الأفقي الممتد خارج المثلث.

== {{وإو|المركز العمودي|Orthocentric system}} (نقطة تلاقي الارتفاعات) ==
تتقاطع الارتفاعات الثلاثة في نقطة، تسمى المركز العمودي للمثلث، وعادةً ما يتم الإشارة إليها بـ {{Mvar|H}}.<ref name="مولد تلقائيا2">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Smart|1998}}</ref><ref name="BG118">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Berele|Goldman|2001}}</ref> يقع المركز العمودي داخل المثلث [[إذا وفقط إذا|فقط إذا كان]] المثلث حادًا (أي ليس له زاوية أكبر من الزاوية القائمة أو مساوية لها). إذا كانت إحدى الزوايا قائمة، فإن المركز العمودي يتطابق مع الرأس القائم.<ref name="BG118" />

لنفترض أن {{تعبير رياضي|''A'', ''B'', ''C''}} تشير إلى رؤوس وكذلك زوايا المثلث، وافترض أن أطوال الأضلاع{{تعبير رياضي|1=''a'' = {{!}}''BC''{{!}}, ''b'' = {{!}}''CA''{{!}}, ''c'' = {{!}}''AB''{{!}}}}فإن المركز العمودي له [[إحداثيات خطية ثلاثية|الإحداثيات الخطية الثلاثية]] <ref name="ck">Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangle Centers {{استشهاد ويب
| مسار = http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
| عنوان = Archived copy
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20120419171900/http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html
| تاريخ أرشيف = 2012-04-19
| تاريخ الوصول = 2012-04-19
}}</ref>

<math>\sec A:\sec B:\sec C = \cos A-\sin B \sin C:\cos B-\sin C \sin A:\cos C-\sin A\sin B,</math>
[[ملف:Triangle.Orthocenter.svg|يسار|تصغير|ثلاثة ارتفاعات تتقاطع عند المركز العمودي]]
[[نظام الإحداثيات الخاص بمركز الثقل|و الإحداثيات الكتلية]]<math>\displaystyle (a^2+b^2-c^2)(a^2-b^2+c^2) : (a^2+b^2-c^2)(-a^2+b^2+c^2) : (a^2-b^2+c^2)(-a^2+b^2+c^2)</math>

:: <math>=\tan A:\tan B:\tan C.</math>

نظرًا لأن جميع الإحداثيات الكتلية موجبة لنقطة في داخل مثلث، لكن إحداها، على الأقل، سالبة لنقطة خارجه، واثنان من الإحداثيات الكتلية يساويان صفر لنقطة الرأس، فإن الإحداثيات الكتلية المعطاة للمركز العمودي توضح أن المركز العمودي يقع داخل المثلث الحاد، وعلى الرأس القائم الزاوية [[مثلث قائم|لمثلث قائم الزاوية]]، وخارج المثلث المنفرج.

في المستوى المركب، افترض أن النقاط A و B و {{Mvar|C}} تمثل [[عدد مركب|الأرقام]] <math>z_A</math> و <math>z_B</math> و <math>z_C</math>، على التوالي، وافترض أن [[دائرة محيطة|المركز المحيطي]] من المثلث {{Mvar|ABC}} يقع عند أصل المستوى. عندئذ، العدد المركب

: <math>z_H=z_A+z_B+z_C</math>

تمثله النقطة {{Mvar|H}}، أي المركز العمودي للمثلث {{Mvar|ABC}}. من هذا، يمكن تحديد الخصائص التالية للمركز العمودي {{Mvar|H}} عن طريق [[المتجهات الحرة]] مباشرةً:

: <math>\vec{OH}=\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA},\qquad2\cdot\vec{HO}=\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{HA}.</math>

تُعرف أولى المتطابقات المتجهة السابقة، أيضًا، ''بمسألة سيلفستر''، التي اقترحها [[جيمس جوزيف سيلفستر]] .<ref name="Dorrie">Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, {{ردمك|0-486-61348-8}}, page 142</ref>

=== الخصائص ===
لنفترض أن D وE و {{تعبير رياضي|''F''}}تشير إلى أقدام الارتفاعات للرؤوس A وB و {{تعبير رياضي|''C''}}على التوالي. عندئذ:

* المركز العمودي يقسم الارتفاع لقطعتين جداؤهما ثابت لجميع الارتفاعات الثلاثة:<ref name="Johnson">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Johnson|2007}}</ref><ref name="pballew">{{استشهاد ويب
| مسار = http://www.pballew.net/orthocen.html
| عنوان = "Orthocenter of a triangle"
| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20120705102919/http://www.pballew.net/orthocen.html
| تاريخ أرشيف = 2012-07-05
| تاريخ الوصول = 2012-05-04
}}</ref>

: <math>AH \cdot HD = BH \cdot HE = CH \cdot HF.</math>
: الدائرة المتمركزة عند {{Mvar|H}} و نصف قطرها الجذر التربيعي لهذا الثابت هي الدائرة القطبية للمثلث.<ref name="Johnson" />

* مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن القاعدة إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 1:<ref name="Panapoi">[http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa06/Panapoi/assignment_8/assignment8.htm Panapoi,Ronnachai, "Some properties of the orthocenter of a triangle"], [[جامعة جورجيا]]. {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210429154624/http://jwilson.coe.uga.edu/EMAT6680Fa06/Panapoi/assignment_8/assignment8.htm|date=2021-04-29}}</ref> (هذه الخاصية والتالية لها، تطبيقان لخاصية أعم لأي نقطة داخلية وثلاثة {{وإو|خطوط شيفيّة|Cevian}} خلالها.)

: <math>\frac{HD}{AD} + \frac{HE}{BE} + \frac{HF}{CF} = 1.</math>

* مجموع النسب لبعد المركز العمودي عن الرأس إلى طول الارتفاع للارتفاعات الثلاثة هو 2:<ref name="Panapoi" />

: <math>\frac{AH}{AD} + \frac{BH}{BE} + \frac{CH}{CF} = 2.</math>

* و [[المترافقة متساوية الزوايا|المترافق متساوي الزوايا]] لـلمركز العمودي هو [[دائرة محيطة|المركز المحيطي]] للمثلث.<ref name="مولد تلقائيا2" />
* و المترافق [[الأيزوماتيكي]] للمركز العمودي هو [[مستوسط|نقطة المستوسط]] [[مثلث متوسط|للمثلث المضاد-التتمة]] .<ref>Weisstein, Eric W. "Isotomic conjugate" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211024063247/https://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html|date=2021-10-24}}</ref>
* إذا كانت أربع نقاط في مستوى، بحيث تكون إحداهم المركز العمودي للمثلث الذي تشكله الثلاثة الأخرى ات، تسمى (الأربع نقاط) [[نظام مركزي عمودي]] أو [[رباعي الزوايا المركزي العمودي]].

=== العلاقة مع الدوائر والمخروطات ===
إذا أشرنا إلى محيط المثلث بـ{{تعبير رياضي|''R''}}. عندئذ <ref>[http://mathworld.wolfram.com/Orthocenter.html Weisstein, Eric W. "Orthocenter." From MathWorld--A Wolfram Web Resource.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211114125623/https://mathworld.wolfram.com/Orthocenter.html|date=2021-11-14}}</ref><ref name="مولد تلقائيا3">{{استشهاد بهارفارد دون أقواس|Altshiller-Court|2007}}</ref>

: <math>a^2+b^2+c^2+AH^2+BH^2+CH^2 = 12R^2.</math>

وبالإضافة إلى ذلك، ترمز r لنصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث، {{تعبير رياضي|''r''<sub>''a''</sub>, ''r''<sub>''b''</sub>}}و {{تعبير رياضي|''r''<sub>''c''</sub>}}يرمزون إلى أنصاف أقطار الدوائر الخارجية للمثلث، {{تعبير رياضي|''R''}}
 هي نصف قطر الدائرة المحيطة، والعلاقات التالية تظل صحيحة بالنسبة لبعد المركز العمودي عن الرؤوس:<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf Bell, Amy, "Hansen's right triangle theorem, its converse and a generalization", ''Forum Geometricorum'' 6, 2006, 335–342.] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210831080348/https://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200639.pdf|date=2021-08-31}}</ref>

: <math>r_a+r_b+r_c+r=AH+BH+CH+2R,</math>
: <math>r_a^2+r_b^2+r_c^2+r^2=AH^2+BH^2+CH^2+(2R)^2.</math>

إذا مد أي ارتفاع، على سبيل المثال، AD، ليتقاطع مع الدائرة المحيطة عند {{تعبير رياضي|''P''}}، بحيث تكون {{تعبير رياضي|''AP''}}وتر للدائرة المحيطة، فإن القدم {{تعبير رياضي|''D''}}تشطر الجزء {{تعبير رياضي|''HP''}}:<ref name="pballew" />

: <math>HD = DP.</math>

[[قطع مخروطي|تمر أدلاء]] جميع [[قطع مكافئ|القطوع المكافئة]] الماسة خارجيًا لضلع للمثلث والماسة لامتدادي الضلعين الآخرين، عبر المركز العمودي.<ref>Weisstein, Eric W. "Kiepert Parabola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211112002008/https://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html|date=2021-11-12}}</ref>

[[المخروطي المحيطي]] الذي يمر عبر المركز العمودي لمثلث هو [[قطعًا زائدًا مستطيلًا]] .<ref>Weisstein, Eric W. "Jerabek Hyperbola." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211112002017/https://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html|date=2021-11-12}}</ref>

=== العلاقة بالمراكز الأخرى، دائرة النقاط التسع ===
المركز العمودي H، و[[مركز الكتلة]] {{تعبير رياضي|''G''}}، [[دائرة محيطة|والمركز المحيطي]] {{تعبير رياضي|''O''}}، والمركز {{تعبير رياضي|''N''}}
 [[دائرة النقاط التسع|لدائرة النقاط التسع]] يقعون على خط واحد، يُعرف [[خط أويلر|بخط أويلر]] .<ref name="BG118" /> يقع مركز دائرة النقاط التسع في [[منتصف]] خط أويلر، بين المركز العمودي والمركز المحيطي، والمسافة بين مركز الكتلة والمركز المحيطي هي نصف المسافة بين مركز الكتلة والمركز العمودي <ref name="BG118" />

: <math>OH=2NH,</math>

: <math>2OG=GH.</math>

بعد المركز العمودي عن المركز الداخلي أقل من بعد مركز الكتلة عن المركز العمودي، والبعد بين المركز العمودي ومركز الكتلة أكبر من البعد بين المركز الداخلي ومركز الكتلة.

: <math>HI < HG,</math>

: <math>HG > IG. </math>
من حيث الأضلاع {{تعبير رياضي|''a, b, c''}}
 [[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|نصف القطر الداخلي]] {{تعبير رياضي|''r''}}و [[نصف القطر المحيطي]] {{تعبير رياضي|''R''}}<ref>Marie-Nicole Gras, "Distances between the circumcenter of the extouch triangle and the classical centers", ''Forum Geometricorum'' 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210428144211/https://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html|date=2021-04-28}}</ref>

: <math>OH^2 = R^2 -8R^2 \cos A \cos B \cos C=9R^2-(a^2+b^2+c^2),</math><ref name="SL">Smith, Geoff, and Leversha, Gerry, "Euler and triangle geometry", ''Mathematical Gazette'' 91, November 2007, 436–452.</ref>{{صفحات مرجع|p. 449}}

: <math>HI^2 = 2r^2 -4R^2 \cos A \cos B \cos C.</math>

== المثلث العمودي (مثلث الارتفاعات) ==
[[ملف:Altitudes_and_orthic_triangle_SVG.svg|تصغير|279x279بك|المثلث {{تعبير رياضي|''abc''}} (على التوالي ، {{Mvar|DEF}} في النص) هو المثلث العمودي للمثلث {{تعبير رياضي|''ABC''}}]]
إذا كان المثلث ABC مائلًا (لا يحتوي على زاوية قائمة) ، فإن [[مثلث مساقط|مثلث المساقط]] '''الخاص بالمركز العمودي للمثلث''' الأصلي يسمى المثلث العمودي أو '''مثلث الارتفاعات'''. أي إن أقدام ارتفاعات المثلث المائل تشكل المثلث العمودي، {{Mvar|DEF}} . وأيضًا، فإن المركز الداخلي (مركز الدائرة المحاطة بالمثلث) للمثلث العمودي هو المركز العمودي للمثلث {{Mvar|ABC}} .<ref name="مولد تلقائيا1">{{استشهاد بكتاب
| عنوان = Continuous symmetry: from Euclid to Klein
| مؤلف1 = William H. Barker, Roger Howe
| مسار = https://books.google.com/books?id=NIxExnr2EjYC&pg=PA292
| الفصل = § VI.2: The classical coincidences
| ISBN = 0-8218-3900-4
| ناشر = American Mathematical Society
| سنة = 2007
| صفحة = 292
|مسار أرشيف= https://web.archive.org/web/20221117173030/https://books.google.com/books?id=NIxExnr2EjYC&pg=PA292|تاريخ أرشيف=2022-11-17}} See also: Corollary 5.5, p. 318.</ref>

تعطى [[إحداثيات خطية ثلاثية|الإحداثيات الخطية الثلاثية]] لرؤوس المثلث العمودي بـ* {{تعبير رياضي|1=''D'' = 0 : sec ''B'' : sec ''C''}}* {{تعبير رياضي|1=''E'' = sec ''A'' : 0 : sec ''C''}}* {{تعبير رياضي|1=''F'' = sec ''A'' : sec ''B'' : 0}}

* الأضلاع الممتدة من المثلث العمودي تتقابل مع نظيرتها من المثلث المرجعي في ثلاث [[تسامت|نقاط تقع على خط واحد]] .<ref name="Johnson" /><ref name="مولد تلقائيا3" /><ref name="مولد تلقائيا1"/>
* في أي [[مثلثات حادة ومنفرجة|مثلث حاد]]، المثلث المدرج بداخله ذو المحيط الأصغر هو المثلث العمودي.<ref name="Johnson" /> هذا هو الحل ل {{وإو|مسألة فانيانو|Fagnano's problem}} التي طُرِحَت عام 1775.<ref name="BG118" />
* أضلاع المثلث العمودي متوازية مع مماسات الدائرة المحيطة عند رؤوس المثلث الأصلي.<ref name="Johnson" />
* يعطي المثلث العمودي لمثلث حاد مثلث المرور الضوئي.<ref>Bryant, V., and Bradley, H., "Triangular Light Routes," ''Mathematical Gazette'' 82, July 1998, 298-299.</ref>
* الخطوط المماسية لدائرة النقاط التسع عند نقاط المنتصف لأضلاع المثلث {{Mvar|ABC}}، توازي أضلاع المثلث العمودي، وتشكل مثلثًا مشابهًا للمثلث العمودي.<ref>{{استشهاد|الأول=David C.|الأخير=Kay|عنوان=College Geometry / A Discovery Approach|سنة=1993|ناشر=HarperCollins|ISBN=0-06-500006-4|صفحة=6}}</ref>

يرتبط المثلث العمودي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث المماسي، المنشئ على النحو التالي: افترض أن {{تعبير رياضي|''L''<sub>''A''</sub>}}مماس للدائرة المحيطة بالمثلث {{تعبير رياضي|''ABC''}}عند الرأس {{تعبير رياضي|''A''}}، وبالمثل {{تعبير رياضي|''L''<sub>''B''</sub>}}و {{تعبير رياضي|''L''<sub>''C''</sub>}}. افترض أن {{تعبير رياضي|1=''A"'' = ''L''<sub>''B''</sub>&nbsp;∩&nbsp;''L''<sub>''C''</sub>}}، {{تعبير رياضي|1=''B"'' = ''L''<sub>''C''</sub>&nbsp;∩&nbsp;''L''<sub>''A''</sub>}}، {{تعبير رياضي|1=''C"'' = ''L''<sub>''C''</sub>&nbsp;∩&nbsp;''L''<sub>''A''</sub>}}. المثلث المماسي {{تعبير رياضي|''A"B"C"''}}الذي أضلاعه مماسات للدائرة المحيطة بالمثلث "{{Mvar|ABC}} عند رؤوسه، هو [[تحاك|محاكي]] للمثلث العمودي. يقع المركز المحيطي للمثلث المماسي ومركز التشابه للمثلثين العمودي والمماسي على [[خط أويلر]] .<ref name="SL" /> {{صفحات مرجع|p. 447}}

تعطى الإحداثيات الخطية الثلاثية لرؤوس المثلث المماسي بواسطة* {{تعبير رياضي|1=''A"'' = −''a'' : ''b'' : ''c''}}* {{تعبير رياضي|1=''B"'' = ''a'' : −''b'' : ''c''}}* {{تعبير رياضي|1=''C"'' = ''a'' : ''b'' : −''c''}}.

== بعض مبرهنات الارتفاع الإضافية ==

=== الارتفاع من حيث الأضلاع ===
لأي مثلث أضلاعه {{تعبير رياضي|''a, b, c''}} ونصف محيطه {{تعبير رياضي|1=''s'' = (''a'' + ''b'' + ''c'') / 2}} ،يعطى ارتفاع {{تعبير رياضي|''a''}}

: <math>h_a=\frac{2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{a}.</math>
هذا يتأتى من دمج [[صيغة هيرو|صيغة هيرون]] لمساحة المثلث من حيث الأضلاع مع صيغة المساحة (1/2) × القاعدة × الارتفاع، حيث نعتبر القاعدة الضلع {{تعبير رياضي|''a''}}
 والارتفاع هو الارتفاع من {{تعبير رياضي|''A''}}.

=== مبرهنات نصف القطر الداخلي ===
بالنسبة لأي مثلث له الأضلاع {{تعبير رياضي|''a, b, c''}}و الارتفاعات المقابلة {{تعبير رياضي|''h''<sub>''a''</sub>, ''h''<sub>''b''</sub>}}و {{تعبير رياضي|''h''<sub>''c''</sub>}}. ترتبط الارتفاعات و[[دوائر داخلية وخارجية لمثلث|نصف القطر الداخلي]] {{تعبير رياضي|''r''}}بـالعلاقة <ref>Dorin Andrica and Dan S ̧tefan Marinescu. "New Interpolation Inequalities to Euler’s R ≥ 2r". ''Forum Geometricorum'', Volume 17 (2017), pp. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210831080345/https://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf|date=2021-08-31}}</ref> {{صفحات مرجع|Lemma 1}}

: <math>\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}.</math>

=== مبرهنة نصف القطر المحيطي ===
إذا أشرنا إلى الارتفاع لأحد أضلاع المثلث بـ {{تعبير رياضي|''h<sub>a</sub>''}}، والجانبان الآخران {{تعبير رياضي|''b''}}و {{تعبير رياضي|''c''}}، ونصف القطر المحيطي للمثلث (نصف قطر الدائرة [[دائرة محيطة|المحيطة بالمثلث]]) {{تعبير رياضي|''R''}}، يعطى الارتفاع بالعلاقة

: <math>h_a=\frac{bc}{2R}.</math>

=== نقطة داخلية ===
إذا كانت {{تعبير رياضي|''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>}}و {{تعبير رياضي|''p''<sub>3</sub>}}هي المسافات العمودية من أي نقطة {{تعبير رياضي|''P''}}إلى الأضلاع،<math>h_1</math> و <math>h_2</math>و {{تعبير رياضي|''h''<sub>3</sub>}}هي الارتفاعات على الأضلاع، إذًا <ref name="Johnson" />

: <math>\frac{p_1}{h_1} +\frac{p_2}{h_2} + \frac{p_3}{h_3} = 1.</math>

=== مبرهنة المساحة ===
إذا أشرنا إلى ارتفاعات أي مثلث له الأضلاع {{تعبير رياضي|''a'', ''b''}}

{{تعبير رياضي|''c''}}على التوالي <math>h_a</math> و <math>h_b</math> ، و <math> h_c</math> ، وإذا أشرنا إلى نصف مجموع مقلوبات الارتفاعات بـ<math>H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2</math> ، إذا <ref>Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," ''Mathematical Gazette'' 89, November 2005, 494.</ref>

: <math>\mathrm{Area}^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.</math>

=== نقطة عامة على ارتفاع ===
إذا كانت {{تعبير رياضي|''E''}}أي نقطة على الارتفاع {{تعبير رياضي|''AD''}}لأي مثلث {{تعبير رياضي|''ABC''}}، إذًا <ref name="Posamentier">[[Alfred S. Posamentier]] and Charles T. Salkind, ''Challenging Problems in Geometry'', Dover Publishing Co., second revised edition, 1996.</ref> {{صفحات مرجع|77–78}}

: <math>AC^2+EB^2=AB^2+CE^2.</math>

=== مثلثات خاصة ===

==== المثلث المتساوي الأضلاع ====
لأي نقطة {{Mvar|P}} داخل [[مثلث متساوي الأضلاع]]، فإن مجموع الأعمدة على الأضلاع الثلاثة يساوي ارتفاع المثلث. هذه هي [[مبرهنة فيفياني]] .

==== المثلث القائم ====
في المثلث القائم الزاوية الذي ارتفاعاته الثلاثة ha و hb و hc
[[ملف:Inverse_pythagorean_theorem.svg|تصغير|مقارنة بين مبرهنة فيثاغورس المعكوسة ومبرهنة فيثاغورس]]
(أول ارتفاعين منهم يساويان الضلعين {{تعبير رياضي|''b''}}

و {{تعبير رياضي|''a''}}على التوالي) يرتبطون وفقًا لـلعلاقة <ref>Voles, Roger, "Integer solutions of <math>a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}</math>," ''Mathematical Gazette'' 83, July 1999, 269–271.</ref><ref>Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem," ''Mathematical Gazette'' 92, July 2008, 313–317.</ref>

: <math>\frac{1}{h_a ^2}+\frac{1}{h_b ^2}=\frac{1}{h_c ^2}.</math>

يُعرف هذا أيضًا باسم مبرهنة فيثاغورس المعكوسة.

== تاريخ ==
تم إثبات المبرهنة القائلة بأن الارتفاعات الثلاثة للمثلث تلتقي في نقطة واحدة، المركز العمودي، أول مرة في ما نشر عام 1749 بواسطة {{وإو|وليام تشابل|William Chapple (surveyor)}}.<ref>{{استشهاد|مسار=https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml|عنوان=A Possibly First Proof of the Concurrence of Altitudes|صحيفة=Cut The Knot|الأول=Alexander|الأخير=Bogomolny|مؤلف-وصلة=Alexander Bogomolny|تاريخ الوصول=2019-11-17| مسار أرشيف = https://web.archive.org/web/20210507024551/https://www.cut-the-knot.org/triangle/Chapple.shtml | تاريخ أرشيف = 7 مايو 2021 }}</ref>

== انظر أيضًا ==

* [[مركز مثلث|مركز المثلث]]
* [[متوسط (هندسة رياضية)|المتوسط]] [[متوسط (هندسة رياضية)|(هندسة)]]

== اقرأ أيضاً ==
* [[مثلث]]
* [[متوسط (هندسة رياضية)|متوسط المثلث]]
* [[مبرهنة فيثاغورس]]
* [[مركز مثلث|نقاط هامة للمثلث]]
* [[قوانين مساحة المثلث]]

== مراجع ==

{{مراجع}}
{{شريط بوابات|رياضيات|هندسة رياضية}}
{{شريط جانبي هندسة رياضية}}
{{روابط شقيقة}}

[[تصنيف:مثلثات]]
[[تصنيف:هندسة المثلث]]