مصفوفة ياكوبية

مصفوفة ياكوبية قالب:إنج هي مصفوفة تعبر عن مشتق متجه من الدالات ولها أهمية كبيرة في الرياضيات والهندسة خاصة في إخطاط الأنظمة اللاخطية ودراستها وفي الرياضيات العددية.

المحددة الياكوبية (والتي تسمى على سبيل التبسيط بالياكوبية) هي محدد المصفوفة الياكوبية.

سُميت هذه المفاهيم هكذا نسبة لعالم الرياضيات كارل غوستاف ياكوب ياكوبي.

أمثلة

المثال الأول

لتكن الدالة قالب:تعبير رياضي المعرفة كما يلي

$𝐟(x,y)=\left[\begin{array}{c}{x}^{2}y\\ 5x+\sin y\end{array}\right].$

إذن

$f_1(x,y)=x^{2}y$

و

$f_2(x,y)=5x+\sin y$

والمصفوفة الياكوبية ل قالب:تعبير رياضي هي

${𝐉}_{𝐟}(x,y)=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2xy& x^2\\ 5& \cos y\end{array}\right]$

أما المحددة الجاكوبية فهي

$\det ({𝐉}_{𝐟}(x,y))=2xy\cos y-5x^2.$

المثال الثاني : التحويل من إحداثيات ديكارتية إلى إحداثيات قطبية

التحويل من نظام إحداثي قطبي قالب:تعبير رياضي إلى نظام إحداثي ديكارتي (x, y), توفره الدالة التالية قالب:تعبير رياضي حيث:

$\begin{array}{cc}x& =r\cos \phi ;\\ y& =r\sin \phi .\end{array}$

${𝐉}_{𝐅}(r,\phi )=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial x}{\partial r}& \frac{\partial x}{\partial \phi }\\ \frac{\partial y}{\partial r}& \frac{\partial y}{\partial \phi }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & -r\sin \phi \\ \sin \phi & r\cos \phi \end{array}\right]$

المحددة الياكوبية تساوي قالب:تعبير رياضي. هذا التساوي يستعمل من أجل تحويل التكاملات من نظام إحداثيات إلى آخر:

$\underset{𝐅(A)}{\iint }f(x,y)dxdy=\underset{A}{\iint }f(r\cos \phi ,r\sin \phi )rdrd\phi .$