مجموعة قواعد في ميكانيكا الكم

في ميكانيكا الكم قاعدة الجمع (بالإنجليزي: Sum rule in quantum mechanics) هي صيغة للانتقالات بين مستويات الطاقة، حيث يُعَبَّر عن مجموع شِدَّات الانتقال في شكل بسيط. تُستخدم قواعد المجموع لوصف خصائص العديد من الأنظمة الفيزيائية، بما فيها الصلبة والذرات والنوى الذرية والمكونات النووية مثل البروتونات والنيوترونات.

استنتاج مجموعة من القواعد

نفرض أن هاميلتونيان $\hat{H}$ له مجموعة من القيم متعامدة $|n⟩$ مع القيم الذاتية ${ϵ}_n$:

$\hat{H}|n⟩={ϵ}_n|n⟩.$

نحدد معكوس المؤثر الهرميتي $\hat{A}$

$\begin{array}{cc}{\hat{C}}^{(0)}& \equiv \hat{A}\\ {\hat{C}}^{(1)}& \equiv [\hat{H},\hat{A}]=\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}\\ {\hat{C}}^{(k)}& \equiv [\hat{H},{\hat{C}}^{(k-1)}],k=1,2,\dots \end{array}$

نجد أن ${\hat{C}}^{(0)}$ مؤثر هرميتي لأنه يساوي القيمة $\hat{A}$ ولكن ${\hat{C}}^{(1)}$ مؤثر غير هيرميتي

${\left({\hat{C}}^{(1)}\right)}^{†}=(\hat{H}\hat{A}{)}^{†}-(\hat{A}\hat{H}{)}^{†}=\hat{A}\hat{H}-\hat{H}\hat{A}=-{\hat{C}}^{(1)}.$

وبالاستقراء نجد

${\left({\hat{C}}^{(k)}\right)}^{†}=(-1{)}^k{\hat{C}}^{(k)}$

أيضا

$⟨m|{\hat{C}}^{(k)}|n⟩=(E_m-E_n{)}^k⟨m|\hat{A}|n⟩.$

$|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2=⟨m|\hat{A}|n⟩⟨m|\hat{A}|n{⟩}^{\ast }=⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩.$

وباستخدام هذه العلاقة

$\begin{array}{cc}⟨m|[\hat{A},{\hat{C}}^{(k)}]|m⟩& =⟨m|\hat{A}{\hat{C}}^{(k)}|m⟩-⟨m|{\hat{C}}^{(k)}\hat{A}|m⟩\\ & =\sum _n⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|{\hat{C}}^{(k)}|m⟩-⟨m|{\hat{C}}^{(k)}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩\\ & =\sum _n⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩(E_n-E_m{)}^k-(E_m-E_n{)}^k⟨m|\hat{A}|n⟩⟨n|\hat{A}|m⟩\\ & =\sum _n(1-(-1{)}^k)(E_n-E_m{)}^k|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2.\end{array}$

يمكن كتابة النتيجة كالتالي :

$⟨m|[\hat{A},{\hat{C}}^{(k)}]|m⟩=\{\begin{array}{cc}0,& \text{if }k\text{ is even}\\ 2\sum _n(E_n-E_m{)}^k|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2,& \text{if }k\text{ is odd}.\end{array}$

وبوضع $k=1$

$⟨m|[\hat{A},[\hat{H},\hat{A}]]|m⟩=2\sum _n(E_n-E_m)|⟨m|\hat{A}|n⟩{|}^2.$

انظر أيضا

• قوة التذبذب