قابلية التحكم لجرايمان

في نظرية التحكم، تستخدم قابلية التحكم لجرايمان في تحديد هل النظام الخطي قابل للتحكم أم لا .
لأي منظومة رصينة (نظام مستقل زمنيًا)

$\dot{x}=Ax+Bu$

وإذا كانت القيم الذاتية ل $A$ لها قيمة سالبة حقيقة، فإن الحل الفريد $W_c$ لمعادلة ليابونوف

$A{W}_c+W_c{A}^T=-B{B}^T$

موجبًا إذا كان $(A,B)$ قابلين للتحكم.
ويمكن التعبير عن قابلية التحكم لجريمان بالرمز $W_c$ وتكون المعادلة بالشكل التالي:

$W_c=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{A\tau }B{B}^T{e}^{A^T\tau }d\tau$

وتستخدم مصفوفة أخرى لتحديد قابلية التحكم وهي:

$W_c(t_0,t_1)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}{e}^{A(t_0-\tau )}B{B}^T{e}^{A^T(t_0-\tau )}d\tau$

ويكون $(A,B)$ قابلين للتحكم إذا كانت المصفوفة $W_c(t_0,t_1)$ مصفوفة قابلة للعكس لأي قيم$t_1>t_0$ .
وللنظام غير المستقل زمنيًا:

$\dot{x}(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$,

$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

يمكن التحكم فيه على الفترة $[t_0,t_1]$ . بشرط أن تكون مصوفة جرايمان $W_c(t_0,t_1)$ مصفوفة قابلة للعكس:

$W_c(t_0,t_1)=\underset{t_0}{\overset{t_1}{\int }}\mathrm{\Phi }(t_0,\tau )B(\tau )B^T(\tau ){\mathrm{\Phi }}^T(t_0,\tau )d\tau$

انظر أيضًا

• معادلة جرايمان
• قابلية ملاحظة لجرايمان

وصلات خارجية

• Mathematica function to compute the controllability Gramian