قائمة المتسلسلات الرياضياتية

قالب:يتيمة هذه قائمة بالمتسلسلات الرياضياتية والتي تحتوي على صيغ بالتجميعات المنتهية واللامنتهية. ويمكن استخدامها مع غيرها من الأدوات التي تقوم بتقدير التجميعات evaluating sums.

تجميعات القوى

المعادلة
$\sum _{i=1}^{n}i=\frac{n(n+1)}{2}$
$\sum _{i=1}^n{i}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$
$\sum _{i=1}^n{i}^3={\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2=\frac{n^4}{4}+\frac{n^3}{2}+\frac{n^2}{4}={\left[\sum _{i=1}^{n}i\right]}^2$
$\sum _{i=1}^n{i}^4=\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}$
$\sum _{i=0}^n{i}^s=\frac{(n+1{)}^{s+1}}{s+1}+\sum _{k=1}^s\frac{B_k}{s-k+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{k})(n+1{)}^{s-k+1}$ حيث أن $B_k$ هو عدد بيرنولي ذو العدد k.
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^{-s}=\prod _{p\text{ prime}}\frac{1}{1-p^{-s}}=\zeta (s)$ حيث أن $\zeta (s)$ هو دالة زيتا.

متسلسلات القوى

تجميع اللانهائيات (عندما يكون $|x|<1$)	تجميع النهائيات
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^i=\frac{1}{1-x}$	$\sum _{i=0}^n{x}^i=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}=1+\frac{1}{r}(1-\frac{1}{(1+r{)}^n}),\mathrm{w}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{e}r>0\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}x=\frac{1}{1+r}.$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2i}=\frac{1}{1-x^2}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}i{x}^i=\frac{x}{(1-x{)}^2}$	$\sum _{i=1}^{n}i{x}^i=x\frac{1-x^n}{(1-x{)}^2}-\frac{n{x}^{n+1}}{1-x}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^2{x}^i=\frac{x(1+x)}{(1-x{)}^3}$	$\sum _{i=1}^n{i}^2{x}^i=\frac{x(1+x-(n+1{)}^2{x}^n+(2n^2+2n-1)x^{n+1}-n^2{x}^{n+2})}{(1-x{)}^3}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^3{x}^i=\frac{x(1+4x+x^2)}{(1-x{)}^4}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^4{x}^i=\frac{x(1+x)(1+10x+x^2)}{(1-x{)}^5}$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{i}^k{x}^i={\mathrm{Li}}_{-k}(x),$ حيث أن Lis(x) هو لوغاريتم متعدد للمتغير x.

قواسم بسيطة

المعادلة
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i}=-\ln \left(1-x\right)\text{ for }|x|\le 1,x=1$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{2i+1}{x}^{2i+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots =\arctan (x)$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i+1}}{2i+1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\text{ for }|x|<1$
$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$

قواسم عاملية

هي متسلسلة متعددة القوى نشأت من مبرهنة تايلور ويكون لديها معامل عاملي.

المعادلة
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^i}{i!}=e^x$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}i\frac{x^i}{i!}=x{e}^x$ (شاهد توزيع بواسون)
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^2\frac{x^i}{i!}=(x+x^2)e^x$ (شاهد العزم الثاني لتوزيع بواسون)
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^3\frac{x^i}{i!}=(x+3x^2+x^3)e^x$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{i}^4\frac{x^i}{i!}=(x+7x^2+6x^3+x^4)e^x$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i+1)!}{x}^{2i+1}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots =\sin x$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i}{(2i)!}{x}^{2i}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots =\cos x$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\sinh x$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=\cosh x$

القواسم العاملية-المعدلة

المعادلة
$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2(2n+1)}{x}^{2n+1}=\arcsin x\text{ for }|x|<1$
$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i(2i)!}{4^i(i!{)}^2(2i+1)}{x}^{2i+1}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)\text{ for }|x|<1$

متسلسلة ثنائية الحد

متسلسلة ثنائية الحد (و من ضمنها متسلسلة الجذر التربيعي عندما يكون $\alpha =1/2$ والمتسلسلة الهندسية اللانهائية عندما يكون $\alpha =-1$):

الجذر التربيعي:

• $\sqrt{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n)!}{(1-2n)n{!}^2{4}^n}{x}^n\text{ for }|x|<1$

المتسلسلة الهندسية:

• $(1+x{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n\text{ for }|x|<1$

الصيغة العامة:

• $(1+x{)}^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})x^n\text{ for all }|x|<1\text{ and all complex }\alpha$

مع العوامل الثنائية الحد المعممة

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{\alpha }{n})=\prod _{k=1}^n\frac{\alpha -k+1}{k}=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$

• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+n}{i})x^i=\frac{1}{(1-x{)}^{n+1}}$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{i+1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i})x^i=\frac{1}{2x}(\sqrt{1-4x})$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i}{i})x^i=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}$
• $\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2i+n}{i})x^i=\frac{1}{\sqrt{1-4x}}{\left(\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\right)}^n$

عوامل ثنائية الحد

المعادلة
$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=2^n$
$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})a^{(n-i)}{b}^i=(a+b{)}^n$
$\sum _{i=0}^n(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{i})=0$
$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{k+1})$
$\sum _{i=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+i}{i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+n+1}{n})$
$\sum _{i=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{r}{i})(\genfrac{}{}{0ex}{}{s}{n-i})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{r+s}{n})$

دوال مثلثية

إن تجميعات الجيوب والجيوب التمام مأخوذة من متسلسلة فوييه.

المعادلة
$\sum _{i=1}^n\sin \left(\frac{i\pi }{n}\right)=0$
$\sum _{i=1}^n\cos \left(\frac{i\pi }{n}\right)=0$

غير مصنفة

المعادلة
$\sum _{n=b+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{b}{n^2-b^2}=\sum _{n=1}^{2b}\frac{1}{2n}$

انظر أيضاً

• متسلسلة (رياضيات)
• قائمة التكاملات
• تجميع
• متسلسلة تايلور

المراجع

• من نفس الكتب التي أُخذت منها قائمة التكاملات.