ضرب هادامار

قالب:يتيمة ضرب هادامار قالب:إنج في الرياضيات هي عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين من نفس البعد و تعطي مصفوفة ثالثة كل عنصر $ij$ هي جداء العناصر في $ij$ لهاتين المصفوفتين. تمت تسمية هذا الضرب على شرف عالم الرياضيات الفرنسي جاك هآدمار، أو عالم الرياضيات الألماني ایسای شور.

ضرب هادامار

تعريف

لمصفوفتين $A$ و $B$ التي لهما أبعاد $m\times n$، ضرب هادامار $A\circ B$ أو $A\odot B$ مصفوفة بنفس الأبعاد (أي $m\times n$ ) يتم حساب قيمها على النحو التالي:

$(A\circ B{)}_{ij}=(A\odot B{)}_{ij}=(A{)}_{ij}(B{)}_{ij}.$

لم يتم تعريف هذا الضرب للمصفوفات ذات الأبعاد المختلفة.

مثال

لمصفوفتين $A$ و $B$ ($3\times 3$) ضرب هادامار يساوي:

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\circ \left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}{b}_{11}& a_{12}{b}_{12}& a_{13}{b}_{13}\\ a_{21}{b}_{21}& a_{22}{b}_{22}& a_{23}{b}_{23}\\ a_{31}{b}_{31}& a_{32}{b}_{32}& a_{33}{b}_{33}\end{array}\right].$

خواص

• إذا $A$ و $B$ المصفوفات التي لها نفس الأبعاد لا تزيد مرتبة ضرب هادمار عن رتب الضرب لمصفوفتين:

$\mathrm{rank}(𝐀\circ 𝐁)\le \mathrm{rank}(𝐀)\mathrm{rank}(𝐁)$

• إذا $A$ و $B$ و $C$ المصفوفات بنفس الأبعاد وکانت $k$ رقمًا حقيقيًا ثم:

$\begin{array}{cc}& 𝐀\circ 𝐁=𝐁\circ 𝐀,\\ & 𝐀\circ (𝐁\circ 𝐂)=(𝐀\circ 𝐁)\circ 𝐂,\\ & 𝐀\circ (𝐁+𝐂)=𝐀\circ 𝐁+𝐀\circ 𝐂,\\ & \left(k𝐀\right)\circ 𝐁=𝐀\circ \left(k𝐁\right)=k(𝐀\circ 𝐁),\\ & 𝐀\circ \mathrm{𝟎}=\mathrm{𝟎}\circ 𝐀=\mathrm{𝟎}.\end{array}$

• للنواقل $x$ و $y$ ومصفوفاتهم القطرية $D_x$ و $D_y$ يتم إنشاء العلاقات التالية:

${𝐱}^{*}(𝐀\circ 𝐁)𝐲=\mathrm{t}\mathrm{r}\left({𝐃}_{𝐱}^{*}𝐀{𝐃}_{𝐲}{𝐁}^{𝖳}\right),$

$\begin{array}{cc}\sum _i(A\circ B{)}_{ij}& ={\left(B^{𝖳}A\right)}_{jj}\\ & ={\left(A{B}^{𝖳}\right)}_{ii}.\end{array}$

$\left(𝐲{𝐱}^{*}\right)\circ 𝐀={𝐃}_{𝐲}𝐀{𝐃}_{𝐱}^{*}$

• لقيم ذاتية من المصفوفات $A$ و $B$ العلاقة التالية تحمل:

$\prod _{i=k}^n{\lambda }_i(𝐀\circ 𝐁)\ge \prod _{i=k}^n{\lambda }_i(𝐀𝐁),k=1,\dots ,n,$

وصلات داخلية

• مصفوفة (رياضيات)
• جاك هآدمار
• ضرب المصفوفات
• قيم ذاتية ومتجهات ذاتية
• مصفوفة قطرية