سكين الحذاء (هندسة)

سكين الحذّاء.

في الهندسة الرياضية، سكين الحذَّاء قالب:إنج هي منطقة مستوية محصورة بثلاث أنصاف دوائر لها ثلاث قمم, بحيث أن كل نصف دائرة تشترك بكل زاوية من زواياها مع أحد أنصاف الدوائر الأخرى, وكل أنصاف الدوائر تكون على الجهة نفسها على خط مستقيم (القاعدة).

يعتقد أن أرخميدس هو أول من درس هذا الشكل ووضع خصائصه الرياضية. «Arbelos» تعني حرفياً «سكين الحذَّاء» باللغة الإغريقية. وتمثل نصلة السكين التي استخدمت من قبل صانعي الأحذية في القدم.

خصائص

بعض النقاط المميزة لشكل سكين الحذاء

إثنتان من أنصاف الدوائر يجب أن تكونا مقعرتين, ولهما أيُّ قطران أ و ب. الدائرة الثالثة تكون محدبة, ولها القطر أ + ب.

المساحة

مساحة شكل سكين الحذاء تساوي مساحة دائرة لها القطر قالب:Mvar.

برهان: للبرهنة على ذلك, إعكس الشكل على الخط المار عبر النقطتين B و C, لاحظ أن ضعف مساحة سكين الحذاء هو ما يتبقى عندما تُطرَح مساحة الدائرتين الأصغر (اللتان لهما القطران قالب:Mvar وقالب:Mvar) من مساحة الدائرة الأكبر (التي لها القطر قالب:Mvar). حيث أن مساحة الدائرة تناسبية مع مربع القطر (الأصول لإقليدس, الكتاب الثاني عشر (12), البرهان الثاني (2); لا نحتاج أن نعرف أن ثابت التناسب هو قالب:تعبير رياضي), المعادلة تؤول إلى إثبات أن $2|AH{|}^2=|BC{|}^2-|AC{|}^2-|BA{|}^2$. الطول قالب:Mvar يساوي مجموع الطولين قالب:Mvar و قالب:Mvar, فتُبسَّط المعادلة جبرياً إلى أن $|AH{|}^2=|BA||AC|$. فيكون الإدِّعاء هو أن طول القطعة قالب:Mvar يساوي المتوسط الهندسي لطول القطعتين قالب:Mvar و قالب:Mvar. الآن (في الرسم التوضيحي) المثلث قالب:Mvar, نتيجة لاحتوائه في نصف الدائرة, يكون له زاوية قائمة عند النقطة قالب:Mvar (الأصول لإقليدس, الكتاب الثالث (3), البرهان الواحد والثلاثون (31)), وبالتالي قالب:Mvar تكون بالفعل متوسط تناسب بين قالب:Mvar و قالب:Mvar (الأصول لإقليدس, الكتاب السادس (6), البرهان الثامن (8)). هذا البرهان يقارب الحجة الإغريقية القديمة; إستَشهَد هارولد بي بواس بورقة لروجر بي نلسن الذي طبق الفكرة كبرهان لا كلامي كالآتي.