دالة متجهية

قالب:يتيمة دالة ذات قيمة متجهية ، والتي يشار إليها أيضًا باسم دالة متجهية ، هي دالة رياضية لمتغير واحد أو أكثر يكون مداها عبارة عن مجموعة من المتجهات متعددة الأبعاد أو متجهات لا نهائية الأبعاد . يمكن أن تكون مدخلات الدالة المتجهية عدداً أو متجهًا (أي أن أبعاد المجال يمكن أن تكون 1 أو أكبر من 1) ؛ لا يتم تحديد بُعد مجال الدالة بواسطة بُعد النطاق.

مثال: اللولب

رسم بياني للدالة المتجهية قالب:تعبير رياضي

من الأمثلة الشائعة لدالة متجهية هي تلك التي تعتمد على متغير حقيقي واحد $t$ ، غالبًا ما تمثل الوقت ، مما ينتج متجهًا $v(t)$ كنتيجة. من حيث متجهات الوحدة القياسية $i,j,k$ لنظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تمثيل هذه الأنواع المحددة من الدوال المتجهية بواسطة علاقات مثل :

• $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$

حيث $f(t)$ و$g(t)$ و $g(t)$ هي دوال إحداثيات للمتغير t ، ومنطلق هذه الدالة ذات القيمة المتجهية هو تقاطع مجال الوظائف $f$ و $g$ و $h$ . يمكن تمثيل هذه الدوال المتجهية بطريقة مختلفة :

• $𝐫(t)=⟨f(t),g(t),h(t)⟩$

المتجه $r(t)$ له ذيله في الأصل ورأسه عند الإحداثيات التي يتم اعطائها بواسطة الدالة.

في المستوى (2D)، يمكننا تمثيل الدوال المتجهية كالآتي :

• $𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣$ أو
• $𝐫(t)=⟨f(t),g(t)⟩$

الحالة الخطية

في الحالة الخطية ، يمكن التعبير عن الدالة المتجهية بواسطة المصفوفات :

$y=Ax+b$

حيث

$y$

عبارة عن متجه أبعاده هي

$n\times 1$

،

$x$

هو متجه مدخل أبعاده هي

$k\times 1$

، و

$A$

عبارة عن مصفوفة أبعادها هي

$n\times k$

، و b متجه n × 1 للمعلمات .

تستعمل الحالة الخطية غالبًا في تحليل الانحدار.

مشتق دالة متجهية ثلاثية الأبعاد

يمكن اشتقاق العديد من الدوال المتجهية ، مثل الدوال ذات القيمة العددية ، ببساطة عن طريق اشتقاق الإحداثيات في نظام الإحداثيات الديكارتية. وهكذا ، إذا

$𝐫(t)=f(t)𝐢+g(t)𝐣+h(t)𝐤$

هي دالة متجهية ، إذن فإشتقاقها هو

$\frac{d𝐫(t)}{dt}=f^{\prime }(t)𝐢+g^{\prime }(t)𝐣+h^{\prime }(t)𝐤$

يقبل مشتق المتجه التأويل الفيزيائي التالي: إذا كان

$r(t)$

يمثل موضع جسيم ، فإن المشتق هو سرعة هذا الجسيم

$𝐯(t)=\frac{d𝐫(t)}{dt}$

وبالمثل ، فإن مشتق السرعة هو التسارع

$\frac{d𝐯(t)}{dt}=𝐚(t)$

انظر أيضًا

• حقل متجهات
• منحنى
• تمثيل وسيطي

مراجع

• قالب:استشهاد
• قالب:استشهاد