دالة التكامل اللوغاريتمي

في الرياضيات، دالة التكامل اللوغاريتمي قالب:إنج أو اللوغاريتم التكاملي^[١] $li (x)$ هي دالة خاصة. إنها ذات صلة بمشاكل الفيزياء ولها أهمية في نظرية الأعداد. على وجه الخصوص، وفقًا لقالب:وإو، يعتبر هذا تقريبًا جيدًا للدالة المعدة للأعداد الأولية، التي هي معرفة على أنها عدد الأعداد الأولية أقل من أو تساوي قيمة معينة $x$ .

التمثيل التكاملي

التكامل اللوغاريتمي له تمثيل تكاملي المعرفة على جميع الأعداد الحقيقية الموجبة مع قالب:Mvar ≠1 من قبل التكامل المحدد.

li (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{\ln t} .

هنا، يشير قالب:تعبير رياضي إلى اللوغاريتم الطبيعي . الدالة قالب:تعبير رياضي لها نقطة تفرد عند قالب:Mvar =1 ، والتكامل من أجل قالب:Mvar > 1 يجب أن تفسر على أنها قيمة رئيسية لكوشي.

li (x) = \lim_{ε \to 0 +} (\int_{0}^{1 - ε} \frac{d t}{\ln t} + \int_{1 + ε}^{x} \frac{d t}{\ln t}) .

يتم تعريف التكامل اللوغاريتمي لأويلر كما يلي:

Li (x) = li (x) - li (2)

يمكن تمثيله على شكل التكامل:

Li (x) = \int_{2}^{x} \frac{d t}{\ln t}

على هذا النحو، فإن تمثيل التكامل له ميزة تجنب التفرد في مجال المكاملة.

الدالة li(x) لها جذر موجب؛ تنعدم عند

؛ يُعرف هذا العدد باسم ثابت رامانوجان-سولدنر قالب:إنج.

تمثل القيمة السابقة: $- (Γ (0, - \ln 2) + i π)$ ، حيث $Γ (a, x)$ هي قالب:وإو؛ تُعرف هذه القيمة بقيمة كوشي الرئيسية للدالة.

li (x) = γ + \ln \ln x + \sqrt{x} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1} (\ln x)^{n}}{n! 2^{n - 1}} \sum_{k = 0}^{⌊ (n - 1) / 2 ⌋} \frac{1}{2 k + 1} .

تعتبر دالة التكامل اللوغاريتمي مهمة في نظرية الأعداد، حيث تظهر في تقديرات عدد الأعداد الأولية أقل من قيمة معينة. على سبيل المثال، تنص مبرهنة الأعداد الأولية على أن دالة التكامل اللوغاريتمي لأويلر تشبه الدالة المعدة للأعداد الأولية، بتعبير رياضي:

π (x) \sim Li (x)

حيث تشير $π (x)$ إلى عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو يساوي $x$ وليس لديها أي صلة مع [[ط (رياضيات)|العدد قالب:Pi]].